轉置與共軛轉置

最新推荐文章于 2024-11-18 18:46:55 发布

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本文探讨了矩阵的加法、纯量乘法、转置运算，并深入介绍了转置矩阵的性质，包括与其它矩阵运算的结合，以及如何通过矩阵加法与乘法制造对称矩阵和Hermitian矩阵。此外，文章还阐述了可逆矩阵的转置逆矩阵的关系，以及特定矩阵转置不变的特性。

矩陣具有加法和純量乘法運算。除了這兩個源自純量算術的運算，矩陣還有一個獨特的運算，稱為轉置 (transpose)。令 $A=[a_{ij}]$ 為一 $m\times n$ 階矩陣，我們定義 $A$ 的轉置 $A^T$ 為一 $n\times m$ 階矩陣，其中 $(A^T)_{ij}=a_{ji}$ 。換句話說，將 $A$ 的列行對調即得轉置矩陣 $A^T$ ，如下例，

$\begin{bmatrix} 1&4\\ 2&5\\ 3&6 \end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6 \end{bmatrix}$ 。

明顯地， $(A^T)^T=A$ 。若 $A$ 表示成分塊矩陣，則 $A^T$ 不僅置換列行分塊，每一分塊也必須隨之轉置，例如，

$\begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}\\ A_{21}&A_{22} \end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix} 1&\vline&4\\ 2&\vline&5\\ \hline 3&\vline&6 \end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix} 1&2&\vline&3\\ \hline 4&5&\vline&6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A_{11}^T&A_{21}^T\\ A_{12}^T&A_{22}^T \end{bmatrix}$ 。

一般而言，轉置適用於實矩陣。在許多實際應用中，複矩陣的轉置常會附加共軛運算，稱為共軛轉置 (conjugate transpose)。複數 $z=a+ib$ ，其中 $i=\sqrt{-1}$ ，的共軛定義為 $\overline{z}=a-ib$ 。類似複數的共軛運算， $A=[a_{ij}]$ 的共軛矩陣為 $\overline{A}=[\overline{a_{ij}}]$ ，共軛轉置則為 $\overline{A}^T=\overline{A^T}$ ，或記作 $A^{\ast}$ 。例如，

$\begin{bmatrix} 1+3i&4&i\\ -2i&0&2-i \end{bmatrix}^{\ast}=\begin{bmatrix} 1-3i&2i\\ 4&0\\ -i&2+i \end{bmatrix}$ 。

同樣地， $(A^{\ast})^{\ast}=A$ 。若 $A$ 是實矩陣，共軛轉置退化成轉置，即 $A^{\ast}=A^T$ 。下面我們討論 (共軛) 轉置與其他矩陣運算的結合，並介紹一些由 (共軛) 轉置所界定的特殊矩陣。

令 $A=[a_{ij}]$ 和 $B=[b_{ij}]$ 為 $m\times n$ 階矩陣， $c$ 為一純量 (實數或複數)。矩陣的 (共軛) 轉置是一線性函數，即下列性質成立：

$(A+B)^T=A^T+B^T,~~(A+B)^{\ast}=A^{\ast}+B^{\ast}$ ，

$(cA)^T=cA^T,~~(cA)^{\ast}=\overline{c}A^{\ast}$ 。

證明於下：對於任一 $i$ 和 $j$ ，

$\left((A+B)^T\right)_{ij}=(A+B)_{ji}=a_{ji}+b_{ji}=(A^T)_{ij}+(B^T)_{ij}=(A^T+B^T)_{ij}$ ，

故 $(A+B)^T=A^T+B^T$ ；類似地，對於任一 $i$ 和 $j$ ，

$\left((cA)^T\right)_{ij}=(cA)_{ji}=ca_{ji}=c(A^T)_{ij}$ ，

故 $(cA)^T=cA^T$ 。共軛轉置的證明只要將 $(\cdot)^T$ 以 $(\ast)^T$ 取代即可。

接著考慮矩陣乘法的轉置。令 $A=[a_{ij}]$ 為一 $m\times n$ 階矩陣， $B$ 為一 $n\times p$ 階矩陣，則

$(AB)^T=B^TA^T,~~(AB)^{\ast}=B^{\ast}A^{\ast}$ 。

直接計算 $(AB)^T$ 的 $(i,j)$ 元即可證明。下面介紹以「行」或「列」作為矩陣乘法運算單元的證法 (見“矩陣乘法的現代觀點 (一)”)。令 $\mathbf{x}=[x_j]$ 為一 $n$ 維向量。將 $A$ 以行向量表示為 $A=\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_n \end{bmatrix}$ ，則

$\begin{aligned} (A\mathbf{x})^T&=\left(x_1\mathbf{a}_1+\cdots+x_n\mathbf{a}_n\right)^T=x_1\mathbf{a}_1^T+\cdots+x_n\mathbf{a}_n^T\\ &=\begin{bmatrix} x_1&\cdots&x_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^T\\ \vdots\\ \mathbf{a}_n^T \end{bmatrix}=\mathbf{x}^TA^T.\end{aligned}$

將 $B$ 以行向量表示， $B=\begin{bmatrix} \mathbf{b}_1&\cdots&\mathbf{b}_p \end{bmatrix}$ ，利用上面結果，可得

$\begin{aligned} (AB)^T&=\left(A\begin{bmatrix} \mathbf{b}_1&\cdots&\mathbf{b}_p \end{bmatrix}\right)^T=\begin{bmatrix} A\mathbf{b}_1&\cdots&A\mathbf{b}_p \end{bmatrix}^T\\ &=\begin{bmatrix} (A\mathbf{b}_1)^T\\ \vdots\\ (A\mathbf{b}_p)^T \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{b}_1^TA^T\\ \vdots\\ \mathbf{b}_p^TA^T \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{b}_1^T\\ \vdots\\ \mathbf{b}_p^T \end{bmatrix}A^T=B^TA^T.\end{aligned}$

同樣地，共軛轉置的證明只要將轉置運算以共軛轉置運算取代即可。

若 $A$ 為一 $n\times n$ 階可逆矩陣，(共軛) 轉置的逆矩陣等於逆矩陣的 (共軛) 轉置：

$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T,~~(A^{\ast})^{-1}=(A^{-1})^{\ast}$ 。

給定 $AA^{-1}=I$ ，等號兩邊計算轉置，使用矩陣乘積的轉置公式，可得

$(AA^{-1})^T=(A^{-1})^TA^T=I^T=I$ ，

因此證明 $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$ 。共軛轉置的證明亦同。

某些矩陣的轉置不發生任何改變，譬如，

$\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 2&4&6\\ 3&6&9 \end{bmatrix},~~\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&3 \end{bmatrix}$ 。

令 $A=[a_{ij}]$ 為一 $n\times n$ 階矩陣。若 $A=A^T$ ，即 $a_{ij}=a_{ji}$ ，則 $A$ 稱為對稱矩陣 (symmetric matrix)。若 $A=A^{\ast}$ ，即 $a_{ij}=\overline{a_{ji}}$ ，則 $A$ 稱為共軛對稱矩陣，或 Hermitian 矩陣 (見“特殊矩陣 (九)：Hermitian 矩陣”)。見下例，

$A=\begin{bmatrix} 1&1+2i&-3i\\ 1-2i&2&4+i\\ 3i&4-i&3 \end{bmatrix},~~B=\begin{bmatrix} 1&1+2i&-3i\\ 1+2i&2i&4+i\\ -3i&4+i&3-2i \end{bmatrix}$ 。

目視可以確定 $A$ 是 Hermitian 矩陣，但不是對稱矩陣。相反地， $B$ 是對稱矩陣，但不是 Hermitian 矩陣。Hermitian 矩陣的主對角元必是實數，因為 $a_{jj}=\overline{a_{jj}}$ ，但對稱矩陣的主對角元則未必是實數。給定一矩陣 $A$ ，如何「製造」對稱矩陣和 Hermitian 矩陣？透過矩陣加法與乘法即可，如下：(1) $A+A^T$ 是對稱矩陣， $A+A^{\ast}$ 是 Hermitian 矩陣；(2) $A^TA$ 和 $AA^T$ 是對稱矩陣， $A^{\ast}A$ 和 $AA^\ast$ 是 Hermitian 矩陣。實對稱矩陣 (實矩陣且對稱) 與 Hermitian 矩陣可謂現今最具實用價值的特殊矩陣 (見“Hermitian 矩陣與實對稱矩陣的一些實例”)，這是我們定義矩陣轉置與共軛轉置的主要動機。