肉眼判讀特徵向量

最新推荐文章于 2025-09-21 13:56:47 发布

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本文介绍了一种巧妙的方法来求解特定模式矩阵的特征值和特征向量，避免了复杂计算，通过观察矩阵的特性可以直接得出结果。

美國數學家波利亞 (G. Polya) 說：「每一個問題的解答，都需要有某個『發現』才行。」這句話套用到下面的矩陣特徵值求解問題尤其貼切：

$A=\left[\!\!\begin{array}{rrrr} 1&-1&2&3\\ -1&1&3&2\\ 2&3&1&-1\\ 3&2&-1&1 \end{array}\!\!\right]$

矩陣 $A$ 的特別模式讓我們得以避免解四次方程式的繁瑣計算，事實上，只要運用心算即可求得 $A$ 有特徵值 $\{-5,1,3,5\}$ 。這究竟是如何辦到的？某個「發現」在此指的又是什麼？

令 $A$ 為一 $n\times n$ 階矩陣。多數線性代數教科書按照以下步驟計算特徵值和特徵向量：

(1) 設特徵方程 $A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$ ，其中 $\lambda$ 是特徵值， $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$ 是特徵向量。將特徵方程改寫為 $(A-\lambda I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$ ，此式的意義是 $A-\lambda I$ 的零空間 $N(A-\lambda I)$ ，稱為特徵空間，包含不為零的向量，也就是說， $A-\lambda I$ 是不可逆的，以行列式表達的等價的條件式為 $\mathrm{det}(A-\lambda I)=0$ 。

(2) 將 $n$ 階行列式 $\mathrm{det}(A-tI)$ 展開，便得到一個 $n$ 次多項式 $p_A(t)$ ，稱為 $A$ 的特徵多項式。解出 $p_A(t)$ 的根，此即為特徵值 $\lambda$ 。

(3) 對於每一個特徵值 $\lambda$ ，解出特徵空間 $N(A-\lambda I)$ 的基底，也就是對應 $\lambda$ 的特徵向量。

根據代數基本定理， $n$ 次多項式恰有 $n$ 個根，因此 $A$ 共有 $n$ 個特徵值（包含重根）。對於小型矩陣，我們可以直接解出特徵多項式的根，很不幸，這個方法的效用有限，因為法國數學家 Évariste Galois 早在公元 1846 年就證明一般 $n>4$ 次方程式不存在公式解。所以，當面對高階矩陣時，除非矩陣具有某種特殊可化簡型態（參閱“分塊矩陣特徵值的計算方法”），否則我們只能仰賴數值方法來計算特徵值。

上面的分析過程給出了特徵值和特徵向量的「制式」計算方法：先解特徵值，後求特徵向量。但倘若我們已經知道 $A$ 的特徵向量 $\mathbf{x}$ ，將它代入特徵方程 $A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$ ，這樣也可以得到對應的特徵值 $\lambda$ 。不過，這個做法的障礙在於特徵向量的解法沒有固定的套路，而且僅適用於少數特殊矩陣模式，因為這兩個原因，今天只有極少數人曉得特徵向量的肉眼判讀術。下面我列舉一些特殊矩陣，不用蠻力計算，也不需要背誦法則，只要留意矩陣的相關特質即可迅速得到答案。

考慮上三角形方陣

$U=\begin{bmatrix} 3&4&5\\ 0&6&7\\ 0&0&8 \end{bmatrix}$

三角形矩陣的主對角元就是特徵值，所以 $U$ 有特徵值 $\{3,6,8\}$ 。明顯地，對應 $\lambda=3$ 的特徵向量為 $\mathbf{x}=\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$ ，但弔詭的是，要能一眼看出對應 $\lambda=6$ 和 $\lambda=8$ 的特徵向量卻不容易。讀者或許會懷疑：針對如此簡單的三角形矩陣，我們都無法立刻讀出特徵向量，遑論其他複雜的矩陣。暫時不必急著下定論，繼續往下探討其他的情況再說。

再看下面這例子，

$B=\left[\!\!\begin{array}{rrr} 1&1&2\\ 2&2&4\\ -3&-3&-6 \end{array}\!\!\right]$

觀察得知 $B$ 僅有一個線性獨立的行向量，亦即 $\mathrm{rank}B=1$ ，我們稱它為秩-1（Rank-One）矩陣。利用行向量之間的倍數關係，不難得到 $B$ 的兩個獨立特徵向量 $\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ 1\\ -1 \end{array}\!\!\right]$ ， $\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 0 \end{array}\!\!\right]$ 對應 $\lambda=0$ 。這表示 $\lambda=0$ 重複兩次，那麼還有一個特徵值為何？我們知道跡數等於特徵值之和，所以還有一個特徵值 $\lambda=1+2+(-6)=-3$ ，而對應的特徵向量正是行向量 $\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ 2\\ -3 \end{array}\!\!\right]$ ！這需要加以解釋。設 $B$ 為 $n\times n$ 階實矩陣，且 $\mathrm{rank}B=1$ ，則 $B$ 必定可以表示為 $B=\mathbf{x}\mathbf{y}^T$ ， $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n$ ，上例中，

$B=\left[\!\!\begin{array}{rrr} 1&1&2\\ 2&2&4\\ -3&-3&-6 \end{array}\!\!\right]=\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ 2\\ -3 \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} 1&1&2 \end{bmatrix}=\mathbf{x}\mathbf{y}^T$

利用矩陣乘法結合律，可得

$\begin{aligned} B\mathbf{x}&=(\mathbf{x}\mathbf{y}^T)\mathbf{x}=\mathbf{x}(\mathbf{y}^T\mathbf{x})=(\mathbf{x}^T\mathbf{y})\mathbf{x}\end{aligned}$

得知 $B$ 有一特徵值 $\lambda=\mathbf{x}^T\mathbf{y}=\mathrm{trace}B$ ，因為特徵向量 $\mathbf{x}$ 可以表示成 $B$ 的行向量的線性組合， $\mathbf{x}$ 是行空間 $C(B)$ 的唯一基底向量。由秩—零度定理可知 $\mathrm{dim}N(B)=n-\mathrm{rank}B=n-1$ ，令零空間 $N(B)$ 的 $n-1$ 個基底向量為 $\mathbf{u}_i$ ， $i=1,\ldots,n-1$ ，就有 $B\mathbf{u}_i=\mathbf{0}$ ， $B$ 有 $n-1$ 個重複特徵值 $\lambda=0$ ，證得秩-1矩陣的特徵值為 $\{\mathbf{x}^T\mathbf{y},0,\ldots,0\}$ 。上述基底向量 $\mathbf{u}_i$ ， $i=1,\ldots,n-1$ ，通常憑肉眼即可判讀出來。

類似的特徵向量解讀術還可以應用於下列形式矩陣：

$A=cI+d\mathbf{x}\mathbf{y}^T$

其中 $c,d\in\mathbb{R}$ 。Householder 矩陣即為一例， $H=I-2\mathbf{v}\mathbf{v}^T$ ， $\Vert\mathbf{v}\Vert=1$ （見“特殊矩陣(四)：Householder 矩陣”）。Householder 矩陣未必容易看出，但下面這個矩陣則有清楚的模式：

$\begin{aligned} C&=\begin{bmatrix} a&b&b&b\\ b&a&b&b\\ b&b&a&b\\ b&b&b&a \end{bmatrix}=(a-b)I+b\mathbf{e}\mathbf{e}^T\end{aligned}$

上式中 $\mathbf{e}$ 的各元全是 $1$ 。不難發現 $C$ 有特徵向量 $\mathbf{e}=\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}$ 對應 $\lambda=a+3b$ ，還有三個獨立的特徵向量對應 $\lambda=a-b$ ： $\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 0\\ 0 \end{array}\!\!\right], \left[\!\!\begin{array}{r} 0\\ 1\\ -1\\ 0 \end{array}\!\!\right], \left[\!\!\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\\ -1 \end{array}\!\!\right]$ 。

回到本文一開始給出的問題，我們將它以符號表示如下：

$A=\begin{bmatrix} a&b&c&d\\ b&a&d&c\\ c&d&a&b\\ d&c&b&a \end{bmatrix}$

其中 $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ 。觀察發現 $A$ 是實對稱矩陣，而且 $A$ 的每一列所有元總和都等於 $a+b+c+d$ 。顯然， $A$ 有特徵向量 $\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}$ 對應 $\lambda=a+b+c+d$ 。回想實對稱矩陣的特徵值必定是實數，而且存在彼此正交的特徵向量集。這個結果縮小了搜索範圍，其他三個特徵向量各元之和必等於零（因為與上述向量正交）。利用對稱原理就得到特徵向量 $\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ 1\\ -1\\ -1 \end{array}\!\!\right]$ 對應 $\lambda=a+b-c-d$ ，特徵向量 $\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 1\\ -1 \end{array}\!\!\right]$ 對應 $\lambda=a-b+c-d$ ，特徵向量 $\left[\!\!\begin{array}{r} 1\\ -1\\ -1\\ 1 \end{array}\!\!\right]$ 對應 $\lambda=a-b-c+d$ 。請讀者自行確認 $A$ 的特徵向量構成一組正交向量集。

最後我們整理特徵向量肉眼判讀術的兩項關鍵技巧：(一) 先求得最明顯的特徵向量，然後算出對應的特徵值。(二) 運用矩陣的特別模式或屬性立下特徵值或特徵向量的條件及限制。在實際應用時，不應墨守成規，也不必拘泥小節，譬如先求特徵值抑或先找特徵向量。總之，基本道理不難，但要達到「運用之妙，存乎一心」的境界，惟有勤加練習一途。