一道超级好玩的dp题：方格取数

解题思路

这道题目是一道典型的dp问题，和一些简单的dp问题不同是，以往都是一条路线从左上角走到右下角，这道题目却是从左上角走到右下角再从右下角走到左上角，那么双条路线我们可以转换成一条路线即两个人从左上角开始走，然后到达右下角，问收集到的数字最多是多少，这样一看就有了点头绪。

那么这样做的话我们的dp数组就得是
$$dp[i1][j1][i2][j2]表示1和2分别走到（i1，j1)和(i2，j2)时候两个人取的数字的最大和$$
（我们先放下时间复杂度的问题，先把暴力解法想明白再想办法去做优化。)
我们的dp[i1][j1][i2][j2]又得从哪里来呢？

那么很明显一个人会对应两个坐标，也就是共有四种结果即1对应3，4和2对应3，4；
那么我们只要比较这四个位置的值就能正确取得这个位置的最大值。

	int &x=dp[i1][j1][i2][j2];
	x=max(dp[i1][j1-1][i2][j2-1],x);
	x=max(dp[i1][j1-1][i2-1][j2],x);
	x=max(dp[i1-1][j1][i2][j2-1],x);
	x=max( dp[i1-1][j1][i2-1][j2])+,x);	
	x+=fg[i1][j1]+fg[i2][j2];					 

注意点

这里有个地方要小心就是两个人可能走到一个位置，那么我们需要对这个位置进行特判，如果两个人走到一个位置，只需要对那个位置的值加一次。

优化思路

如果真想上面那样做了我们要做四层循环，显然有点太暴力，那么就有人问了博主博主有木有好一点的做法。有的兄弟有的。
我们可以再定义一个变量k表示两个人的步数和，因为两人其实从左上角走到右下角的步数和是一样，有了两个人的步数和，那么我们只要给两个人的纵坐标就可以很容易的表示横坐标，然后就可以把这道题目解决了。

代码实现

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=15;
int fg[N][N];
int dp[2*N][N][N];
 int n;
int main()
{
   scanf("%d",&n);
    int a,b,c;
    while(cin>>a>>b>>c&&a||b||c)fg[a][b]=c;
    for(int k=2;k<=2*n;k++){
        for(int i1=1;i1<=n;i1++){
             for(int i2=1;i2<=n;i2++){
                 int j1=k-i1,j2=k-i2;
                 if(j1>=1&&j1<=n&&j2>=1&&j2<=n)//满足条件
                    {
                     int &x=dp[k][i1][i2];
                     int t=fg[i1][j1];
                     if(i1!=i2)t+=fg[i2][j2];
                     x=max(x,dp[k-1][i1-1][i2-1]+t);
                     x=max(x,dp[k-1][i1-1][i2]+t); 
                     x=max(x,dp[k-1][i1][i2-1]+t);
                     x=max(x,dp[k-1][i1][i2]+t);
                 }
             }
        }
    }
     printf("%d\n", dp[n + n][n][n]);
}