[算法竞赛] 几个随机化问题_算法竞赛随机化算法-优快云博客

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交互题。

有一个长度为 $n$ 的序列 $a$ ，保证它从小到大排序后是个等差数列。你不知道这个序列长什么样，但你可以询问：

$?\ i$ 表示询问 $a_i$ 的值；
$>\ x$ 表示询问序列中是否存在严格大于 $x$ 的数。你可以问不超过 $60$ 个询问。

现在，你需要求出这个等差数列的首项（也就是 $a$ 中的最小值）和这个等差数列的公差（也就是等差数列中相邻两个数的差）。

$2\le n\le 10^6,0\le a_i\le 10^9$ 。

我们会用30次询问求出序列中的最大值，此时考虑如何求出公差。

显然地，我们从序列里随便选数得到若干个 $mx - a_i$ ，他们的gcd必然是公差的约数。

其实到这里就很自然地会想到随机了， $30$ 个 $d$ 的倍数的gcd等于 $d$ 的概率等价于随机选 $30$ 个自然数gcd等于 $1$ 的概率，显然超高。

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题意：

给出一个长度为 $n$ 的数组 $a$ 和以下两种操作：

$1\ i\ x$ ：将 $a_i$ 修改为 $x$ 。
$2\ l\ r\ k$ ：询问在数组区间 $[l, r]$ 内是否每个出现过的正整数的出现次数都是 $k$ 的倍数。若是则输出 YES，若否则输出 NO。

你会发现这个问题很怪异，询问区间出现过的数的出现次数是否为k的倍数。

显然，如果一个数的出现次数真的是 $k$ 的倍数，那把这个数的权值加起来应该也是k的倍数。更具体地，如果全部数都满足是 $k$ 的倍数，那区间和也应该是 $k$ 的倍数。

看起来这就是个很不错的判定方法，然而随便卡一下就死了。于是我们决定将每个数随机映射一下再用这个做法。

考虑这个判定方法的错误率，若某一个数出现次数不是k的倍数，但是权值和是k的倍数（即 $cnt_i \nmid k , (x*cnt_i) \mid k$ ），此时可以近似认为其概率为 $\mid k$ 的概率，则错误率约为 $1/ k$ 。

当 $k = 1$ 时直接判定正确，当 $k >= 2$ 时，做三十组随机即可保证错误率低于 $2^{-30}$ 。

P8819 [CSP-S 2022] 星战

$n$ 个点 $m$ 条边的有向图，每条边都有激活和失活两种状态，初始时均为激活状态。四种操作：

失活某条边；
失活以某个点为终点的所有边；
激活某条边；
激活以某个点为终点的所有边。

每次操作后回答，如果只考虑激活的边，是否满足：

所有的点出度均为 $1$
所有的点都满足，从这个点出发，可以走到一个环中。

玩一下两个条件，发现 $2$ 包含于 $1$ ，很无语。

问题变成判所有点出度均为1。

直接看题会容易歪到根号分治去，但是其实 $n = 5 e 5$ 。

考虑直接维护这个二四操作还是相当地困难的，然而这是一个判定性问题，且描述相对简单，如果能想到Hash的话就大功告成了。

首先有个容易维护的必要条件，即总激活边数为n。接下来可以用的Hash的方法有很多，这里讲两种比较经典的。

Sum Hash，随机一下权值，考虑加上每一条激活边指向的点的权值，若满足题目要求，则这个值应该等于 $\sum a_i$ ，那么直接维护这个权值和就好了，因为转化为了入度的计算，二四操作也非常简单。可以多做几次Sum Hash以提高正确率（但做一次的正确率也足够高了）
Xor Hash，会发现在满足必要条件的前提下，问题等价于所有点出度为奇数。那么转化为了一个奇偶性判定的问题，异或就可以派上用场了。我们考虑随机权值后，将偶出度的点权值异或起来，由于点权随机，可以认为存在偶出度点时，异或和不为 $0$ ，反之为 $0$ 。于是维护偶出度的点权值异或和，只需要正确地初始化，并在每一次边的状态变化时异或一次出点权值即可。