[LeetCode]（面试题14- I）剪绳子

题目

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

• 2 <= n <= 58

解题思路

解法一：动态规划

定义函数 f(n) 为把长度为 n 的绳子剪成若干段后各段长度乘积的最大值，由于题目要求至少要剪一刀，假设第一刀剪在长度为 j 的位置（1<=j<=n/2, j为整数），那么绳子就分成了 j 与 n-j 的两段，那么 f(n) = max(f(j)*f(n-j)), 其中1<=j<=n/2, j为整数）。
初始值：

当 n=1 时，没法减，f(1) = 0;
当 n=2 时，只能剪成 1+1 的两段，所以 f(2) = 1*1 =1;
当 n=3 时，可以剪成 1+2 的两段，所以 f(3) = 1*2 = 2;
当 n=4 时，可以剪成 1+3 的两段，或者 2+2 的两段，由于 2*2 > 1*3，所以 f(4) = 2*2 = 4;

复杂度分析：
时间复杂度：O(n^2)。
空间复杂度：O(n)。

解法二：贪心算法

归纳起来一句话，就是当 n>=5 时，应尽可能地多剪长度为 3 的绳子。当剩下的长度为 4 时，把绳子剪成两段长度为 2 的绳子。
证明：
1）当 n>=5 时，3*(n-3) > n，2*(n-2) > n，也就是说，当剩下的绳子长度大于等于5时，就把它剪成长度为 3 或者 2 的绳子段。又当 n>=5 时，3*(n-3) >= 2*(n-2) ，所以应尽可能多剪出长度为 3 的绳子段来。
2）当 n=4 时，如果要剪一刀，可以剪成 1+3 的两段，或者 2+2 的两段，由于 4 = 22 > 13，所以其实没必要剪，只是题目要求至少要剪一刀，那就剪成 2+2 的两段好了，最大乘积为 2*2 = 4;
3）其他 n<4 的情况，见解法一。

复杂度分析：
时间复杂度：O(1)。
空间复杂度：O(1)。

代码

解法一：动态规划

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        // 特殊情况
        if(n<2){
            return 0;
        }
        if(n==2){
            return 1;
        }
        if(n==3){
            return 2;
        }
        // 其他情况
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        dp[3] = 3;
        for(int i=4; i<=n; i++){
            for(int j=1; j<=i/2; j++){
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]*dp[i-j]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

解法二：贪心算法

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        // 特殊情况
        if(n<2){
            return 0;
        }
        if(n==2){
            return 1;
        }
        if(n==3){
            return 2;
        }
        // 其他情况
        // 尽可能地多剪成3
        int time3 = n/3;
        int nextLen = n - 3*time3;
        // 如果最后剩下的长度为1，那么从3那里拿出1来凑成2*2，因为 2*2>3*1
        if(nextLen == 1){
            time3--;
        }
        int time2 = (n-3*time3)/2;
        int res = (int)(Math.pow(3, time3) * Math.pow(2, time2));
        return res;
    }
}