Rust 练习册 98：探索矩阵中的鞍点

最新推荐文章于 2025-12-08 14:16:37 发布

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在数学和计算机科学中，矩阵是一个重要的数据结构，广泛应用于图形处理、机器学习、游戏开发等领域。今天我们来探讨一个有趣的矩阵问题——寻找鞍点(Saddle Points)。

什么是鞍点？

在数学上，鞍点是指在一个矩阵中，某个元素既是其所在行的最大值，又是其所在列的最小值。这个名字来源于它的形状类似马鞍——在某个方向上是最高点，而在另一个方向上是最低点。

举个例子，假设我们有一个矩阵：

[1 2 3]
[4 5 6]
[7 8 9]

在这个矩阵中，元素5既不是行最大值也不是列最小值，所以它不是鞍点。而如果我们将矩阵改为：

[1 2 3]
[4 1 6]
[7 8 9]

这时，元素1在其所在的行中是最小值，在其所在的列中是最大值，因此它是一个鞍点。

问题描述

在我们的练习中，需要实现这样一个函数：

pub fn find_saddle_points(input: &[Vec<u64>]) -> Vec<(usize, usize)> {
    unimplemented!(
        "find the saddle points of the following matrix: {:?}",
        input
    )
}

这个函数接收一个二维矩阵作为参数，返回所有鞍点的位置坐标（行索引，列索引）组成的向量。

解决方案

要找到所有的鞍点，我们需要对矩阵中的每个元素进行检查：

对于每个元素，判断它是否是所在行的最大值
同时判断它是否是所在列的最小值
如果两个条件都满足，则该元素是一个鞍点

下面是完整的实现：

pub fn find_saddle_points(input: &[Vec<u64>]) -> Vec<(usize, usize)> {
    // 处理空矩阵的情况
    if input.is_empty() || input[0].is_empty() {
        return vec![];
    }

    let rows = input.len();
    let cols = input[0].len();

    // 预计算每行的最大值和每列的最小值
    let mut row_max = vec![0; rows];
    let mut col_min = vec![u64::MAX; cols];

    for i in 0..rows {
        for j in 0..cols {
            row_max[i] = row_max[i].max(input[i][j]);
            col_min[j] = col_min[j].min(input[i][j]);
        }
    }

    // 查找鞍点
    let mut saddle_points = Vec::new();
    for i in 0..rows {
        for j in 0..cols {
            let value = input[i][j];
            // 检查是否同时满足行最大值和列最小值的条件
            if value == row_max[i] && value == col_min[j] {
                saddle_points.push((i, j));
            }
        }
    }

    saddle_points
}

测试案例详解

通过查看测试案例，我们可以更好地理解问题的各种边界情况：

#[test]
fn identify_single_saddle_point() {
    let input = vec![vec![9, 8, 7], vec![5, 3, 2], vec![6, 6, 7]];
    assert_eq!(vec![(1, 0)], find_saddle_points(&input));
}

在这个测试中，位置(1, 0)的元素5是第1行的最大值，同时也是第0列的最小值。

#[test]
fn identify_empty_matrix() {
    let input = vec![vec![], vec![], vec![]];
    let expected: Vec<(usize, usize)> = Vec::new();
    assert_eq!(expected, find_saddle_points(&input));
}

空矩阵显然没有鞍点。

#[test]
fn multiple_saddle_points_in_col() {
    let input = vec![vec![4, 5, 4], vec![3, 5, 5], vec![1, 5, 4]];
    assert_eq!(
        vec![(0, 1), (1, 1), (2, 1)],
        find_sorted_saddle_points(&input)
    );
}

在这个例子中，第1列的所有元素都是5，且都是该列的最小值。同时它们也是各自行的最大值，因此这一列的所有元素都是鞍点。

#[test]
fn identify_all_saddle_points() {
    let input = vec![vec![5, 5, 5], vec![5, 5, 5], vec![5, 5, 5]];
    assert_eq!(
        vec![
            (0, 0),
            (0, 1),
            (0, 2),
            (1, 0),
            (1, 1),
            (1, 2),
            (2, 0),
            (2, 1),
            (2, 2)
        ],
        find_sorted_saddle_points(&input)
    );
}