爬楼梯的最少成本

问题分析

这是一个典型的动态规划问题，目标是找到爬上楼梯的最低体力消耗。可以从第 0 或第 1 个阶梯开始，每次可以选择爬 1 或 2 个阶梯，最终需要到达数组末尾之后的位置（即楼顶）。

动态规划解法

动态规划的核心是定义状态和状态转移方程。设 dp[i] 表示到达第 i 个阶梯时的最低体力消耗。

状态转移方程

对于第 i 个阶梯，可以从 i-1 或 i-2 阶梯到达：

• 如果从 i-1 到达，则消耗为 dp[i-1] + cost[i-1]；
• 如果从 i-2 到达，则消耗为 dp[i-2] + cost[i-2]。

因此，状态转移方程为： [ dp[i] = \min(dp[i-1] + cost[i-1], dp[i-2] + cost[i-2]) ]

初始条件

• dp[0] = 0：初始位置可以是第 0 个阶梯，且不需要消耗体力；
• dp[1] = 0：初始位置也可以是第 1 个阶梯，同样不需要消耗体力。

目标

最终目标是计算 dp[n]，其中 n 是数组 cost 的长度。因为楼顶是第 n 个阶梯之后的位置。

代码实现

def minCostClimbingStairs(cost):
    n = len(cost)
    dp = [0] * (n + 1)
    for i in range(2, n + 1):
        dp[i] = min(dp[i-1] + cost[i-1], dp[i-2] + cost[i-2])
    return dp[n]

示例测试

cost = [10, 15, 20]
print(minCostClimbingStairs(cost))  # 输出：15

解释：

• 从第 1 个阶梯开始（消耗 0），支付 15 后爬 2 步到达楼顶，总消耗为 15。

空间优化

由于 dp[i] 只依赖于 dp[i-1] 和 dp[i-2]，可以用两个变量代替数组，将空间复杂度优化到 O(1)。

优化后的代码

def minCostClimbingStairs(cost):
    prev1, prev2 = 0, 0
    for i in range(2, len(cost) + 1):
        current = min(prev1 + cost[i-1], prev2 + cost[i-2])
        prev2, prev1 = prev1, current
    return prev1

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，需要遍历数组一次；
• 空间复杂度：O(1)，仅使用常数空间。

边界情况

• 如果 cost 为空，直接返回 0；
• 如果 cost 长度为 1，可以从第 0 或第 1 个阶梯开始，直接到达楼顶，因此返回 0。

完整代码示例

def minCostClimbingStairs(cost):
    if not cost:
        return 0
    prev1, prev2 = 0, 0
    for i in range(2, len(cost) + 1):
        current = min(prev1 + cost[i-1], prev2 + cost[i-2])
        prev2, prev1 = prev1, current
    return prev1

# 测试
print(minCostClimbingStairs([10, 15, 20]))  # 15
print(minCostClimbingStairs([1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1]))  # 6