数据结构实验之图论八：欧拉回路

无向图存在欧拉回路的充要条件：

一个无向图存在欧拉回路，当且仅当该图所有顶点度数都为偶数,且该图是连通图。

有向图存在欧拉回路的充要条件

一个有向图存在欧拉回路，所有顶点的入度等于出度且该图是连通图。

混合图存在欧拉回路条件

要判断一个混合图G（V,E）（既有有向边又有无向边）是欧拉图，方法如下：

假设有一张图有向图G'，在不论方向的情况下它与G同构。并且G'包含了G的所有有向边。那么如果存在一个图G'使得G'存在欧拉回路，那么G就存在欧拉回路。

其思路就将混合图转换成有向图判断。实现的时候，我们使用网络流的模型。现任意构造一个G'。用Ii表示第i个点的入度，Oi表示第i个点的出度。如果存在一个点k，|Ok-Ik|mod 2=1，那么G不存在欧拉回路。接下来则对于所有Ii>Oi的点从源点连到i一条容量为(Ii-Oi)/2的边，对于所有Ii<Oi的点从i连到汇点一条容量为(Oi-Ii)/2的边。如果对于节点U和V，无向边（U，V）∈E，那么U和V之间互相建立容量为无限大的边。如果此网络的最大流等于∑|Ii-Oi|/2，那么就存在欧拉回路。

tip：用编程实现时只需要确保改图是连通图并且每个节点的度数都是偶数即可。

Problem Description

在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来。



能否走过这样的七座桥，并且每桥只走一次？瑞士数学家欧拉最终解决了这个问题并由此创立了拓扑学。欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡七桥问题，并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为欧拉定理。对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。具有欧拉回路的图叫做欧拉图。

你的任务是：对于给定的一组无向图数据，判断其是否成其为欧拉图？

Input

连续T组数据输入，每组数据第一行给出两个正整数，分别表示结点数目N(1 < N <= 1000)和边数M；随后M行对应M条边，每行给出两个正整数，分别表示该边连通的两个结点的编号，结点从1～N编号。 

Output

若为欧拉图输出1，否则输出0。

Sample Input

1
6 10
1 2
2 3
3 1
4 5
5 6
6 4
1 4
1 6
3 4
3 6

Sample Output

1

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int d[1010],f[1010];
int t,n,m;
int F(int x)
{
   while(x!=f[x])
    {
        x=f[x];
    }
    return x;
}
int Merge(int u,int v)
{
    int dx=F(u);
    int dy=F(v);
    if(dx!=dy)
        f[dy]=dx;///左边原则；
}
void judge()
{
    int flag=0,flag1=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(f[i]==i)
            flag++;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(d[i]%2!=0)
        {
            flag=0;
            break;
        }
    }
    if(flag==1&&flag1==1)
        cout<<1<<endl;
    else
        cout<<0<<endl;
}
int main()
{
    cin>>t;
    int u,v;
    while(t--)
    {
        memset(d,0,sizeof(d));
        cin>>n>>m;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            f[i]=i;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            cin>>u>>v;
            Merge(u,v);
            d[u]++;
            d[v]++;
        }
        judge();

    }
    return 0;
}