朴素贝叶斯就是这么简单

贝叶斯分类是一类分类算法的总称，这类算法均以贝叶斯定理为基础，故统称为贝叶斯分类。而朴素朴素贝叶斯分类是贝叶斯分类中最简单，也是常见的一种分类方法。

1. 贝叶斯原理

1  分类问题综述

 对于分类问题，其实谁都不会陌生，日常生活中我们每天都进行着分类过程。例如，当你看到一个人，你的脑子下意识判断他是学生还是社会上的人；你可能经常会走在路上对身旁的朋友说“这个人一看就很有钱”之类的话，其实这就是一种分类操作。

 

既然是贝叶斯分类算法，那么分类的数学描述又是什么呢？

 

从数学角度来说，分类问题可做如下定义：已知集合和，确定映射规则y = f(x)，使得任意有且仅有一个,使得成立。

 

其中C叫做类别集合，其中每一个元素是一个类别，而I叫做项集合（特征集合），其中每一个元素是一个待分类项，f叫做分类器。分类算法的任务就是构造分类器f。

 

分类算法的内容是要求给定特征，让我们得出类别，这也是所有分类问题的关键。那么如何由指定特征，得到我们最终的类别，也是我们下面要讲的，每一个不同的分类算法，对应着不同的核心思想。

 

本篇文章，我会用一个具体实例，对朴素贝叶斯算法几乎所有的重要知识点进行讲解。

 

2  朴素贝叶斯分类

那么既然是朴素贝叶斯分类算法，它的核心算法又是什么呢？

是下面这个贝叶斯公式：

 

 

换个表达形式就会明朗很多，如下：

 

 

我们最终求的p(类别|特征)即可！就相当于完成了我们的任务。

 

3  例题分析

下面我先给出例子问题。

 

给定数据如下：

 

 

现在给我们的问题是，如果一对男女朋友，男生想女生求婚，男生的四个特点分别是不帅，性格不好，身高矮，不上进，请你判断一下女生是嫁还是不嫁？

 

这是一个典型的分类问题，转为数学问题就是比较p(嫁|(不帅、性格不好、身高矮、不上进))与p(不嫁|(不帅、性格不好、身高矮、不上进))的概率，谁的概率大，我就能给出嫁或者不嫁的答案！

这里我们联系到朴素贝叶斯公式：

 

 

我们需要求p(嫁|(不帅、性格不好、身高矮、不上进),这是我们不知道的，但是通过朴素贝叶斯公式可以转化为好求的三个量.

 

p(不帅、性格不好、身高矮、不上进|嫁)、p（不帅、性格不好、身高矮、不上进)、p(嫁)（至于为什么能求，后面会讲，那么就太好了，将待求的量转化为其它可求的值，这就相当于解决了我们的问题！）

 

4  朴素贝叶斯算法的朴素一词解释

那么这三个量是如何求得？

 

是根据已知训练数据统计得来，下面详细给出该例子的求解过程。

回忆一下我们要求的公式如下：

 

 

那么我只要求得p(不帅、性格不好、身高矮、不上进|嫁)、p（不帅、性格不好、身高矮、不上进)、p(嫁)即可，好的，下面我分别求出这几个概率，最后一比，就得到最终结果。

 

p(不帅、性格不好、身高矮、不上进|嫁) = p(不帅|嫁)*p(性格不好|嫁)*p(身高矮|嫁)*p(不上进|嫁)，那么我就要分别统计后面几个概率，也就得到了左边的概率！

 

等等，为什么这个成立呢？学过概率论的同学可能有感觉了，这个等式成立的条件需要特征之间相互独立吧！

 

对的！这也就是为什么朴素贝叶斯分类有朴素一词的来源，朴素贝叶斯算法是假设各个特征之间相互独立，那么这个等式就成立了！

 

但是为什么需要假设特征之间相互独立呢？

 

 

1、我们这么想，假如没有这个假设，那么我们对右边这些概率的估计其实是不可做的，这么说，我们这个例子有4个特征，其中帅包括{帅，不帅}，性格包括{不好，好，爆好}，身高包括{高，矮，中}，上进包括{不上进，上进}，那么四个特征的联合概率分布总共是4维空间，总个数为2*3*3*2=36个。

 

36个，计算机扫描统计还可以，但是现实生活中，往往有非常多的特征，每一个特征的取值也是非常之多，那么通过统计来估计后面概率的值，变得几乎不可做，这也是为什么需要假设特征之间独立的原因。

 

2、假如我们没有假设特征之间相互独立，那么我们统计的时候，就需要在整个特征空间中去找，比如统计p(不帅、性格不好、身高矮、不上进|嫁),

 

我们就需要在嫁的条件下，去找四种特征全满足分别是不帅，性格不好，身高矮，不上进的人的个数，这样的话，由于数据的稀疏性，很容易统计到0的情况。 这样是不合适的。

 

根据上面俩个原因，朴素贝叶斯法对条件概率分布做了条件独立性的假设，由于这是一个较强的假设，朴素贝叶斯也由此得名！这一假设使得朴素贝叶斯法变得简单，但有时会牺牲一定的分类准确率。

 

好的，上面我解释了为什么可以拆成分开连乘形式。那么下面我们就开始求解！

 

我们将上面公式整理一下如下：

 

 

下面我将一个一个的进行统计计算（在数据量很大的时候，根据中心极限定理，频率是等于概率的，这里只是一个例子，所以我就进行统计即可）。

 

p(嫁)=？

首先我们整理训练数据中，嫁的样本数如下：

 

则 p(嫁) = 6/12（总样本数） = 1/2

 

p(不帅|嫁)=？统计满足样本数如下：

 

则p(不帅|嫁) = 3/6 = 1/2 在嫁的条件下，看不帅有多少

 

p(性格不好|嫁)= ？统计满足样本数如下：

 

则p(性格不好|嫁)= 1/6

 

p（矮|嫁） = ?统计满足样本数如下：

 

则p(矮|嫁) = 1/6

 

p(不上进|嫁) = ?统计满足样本数如下：

 

则p(不上进|嫁) = 1/6

 

下面开始求分母，p(不帅)，p（性格不好），p（矮），p（不上进）

统计样本如下：

 

 

不帅统计如上红色所示，占4个，那么p（不帅） = 4/12 = 1/3

 

 

性格不好统计如上红色所示，占4个，那么p（性格不好） = 4/12 = 1/3

 

 

身高矮统计如上红色所示，占7个，那么p（身高矮） = 7/12

 

 

不上进统计如上红色所示，占4个，那么p（不上进） = 4/12 = 1/3

 

到这里，要求p(不帅、性格不好、身高矮、不上进|嫁)的所需项全部求出来了，下面我带入进去即可，

 

= (1/2*1/6*1/6*1/6*1/2)/(1/3*1/3*7/12*1/3)

 

下面我们根据同样的方法来求p(不嫁|不帅，性格不好，身高矮，不上进)，完全一样的做法，为了方便理解，我这里也走一遍帮助理解。首先公式如下：

 

 

下面我也一个一个来进行统计计算，这里与上面公式中，分母是一样的，于是我们分母不需要重新统计计算！

 

p（不嫁）=？根据统计计算如下（红色为满足条件）：

 

 

则p(不嫁)=6/12 = 1/2

 

p(不帅|不嫁) = ？统计满足条件的样本如下（红色为满足条件）：

 

 

则p（不帅|不嫁） = 1/6

 

p（性格不好|不嫁） = ？据统计计算如下（红色为满足条件）：

则p（性格不好|不嫁） =3/6 = 1/2

 

p（矮|不嫁） = ？据统计计算如下（红色为满足条件）：

 

则p（矮|不嫁） = 6/6 = 1

 

p（不上进|不嫁） = ？据统计计算如下（红色为满足条件）：

则p（不上进|不嫁） = 3/6 = 1/2

 

那么根据公式：

 

p (不嫁|不帅、性格不好、身高矮、不上进) = ((1/6*1/2*1*1/2)*1/2)/(1/3*1/3*7/12*1/3)

很显然(1/6*1/2*1*1/2) > (1/2*1/6*1/6*1/6*1/2)

 

于是有p (不嫁|不帅、性格不好、身高矮、不上进)>p (嫁|不帅、性格不好、身高矮、不上进)

 

所以我们根据朴素贝叶斯算法可以给这个女生答案，是不嫁！！！！

 

5  朴素贝叶斯分类的优缺点

优点：

（1） 算法逻辑简单,易于实现（算法思路很简单，只要使用贝叶斯公式转化医学即可！）

（2）分类过程中时空开销小（假设特征相互独立，只会涉及到二维存储）

 

缺点：

 

理论上，朴素贝叶斯模型与其他分类方法相比具有最小的误差率。但是实际上并非总是如此，这是因为朴素贝叶斯模型假设属性之间相互独立，这个假设在实际应用中往往是不成立的，在属性个数比较多或者属性之间相关性较大时，分类效果不好。

 

而在属性相关性较小时，朴素贝叶斯性能最为良好。对于这一点，有半朴素贝叶斯之类的算法通过考虑部分关联性适度改进。

 

2.朴素贝叶斯文本分类

文本数据的一个典型特征就是其维度较大，比如一篇文档，会有几千甚至上万个词，但是不同类型或主题的文档所用词汇差距较大，可以不考虑词汇出现的顺序，即采用bag of words模型，假设文本中每个词的出现都是独立的。基于此类假设的文本分类问题，可以采用朴素贝叶斯方法进行求解。 
  以下例子取自《信息检索导论》一书，有训练集和测试集如下：

文档ID                  文档中的词                             属于c=Chinac=China类
训练集    1    Chinese Beijing Chinese                          Yes
               2    Chinese Chinese Shanghai                      Yes
               3    Chinese Macao                                         Yes
               4    Tokyo Japan Chinese                                No
测试集    5    Chinese Chinese Chinese Tokyo Japan    ?

现在要判断测试集的数据是否属于China类。首先由训练集数据计算先验概率及类条件概率。 

注意到，Tokyo、Japan在训练集的China类中没有出现，其条件概率就为0，会影响到测试集类别的估计，因此，我们采用拉普拉斯平滑，各类中每个词出现的概率计算如下： 

然后，计算测试集数据属于各类别的概率： 

于是，分类器会将测试集数据归于China类。

本文详述了朴素贝叶斯分类方法，并以一个简单的文本分类为例介绍其应用。朴素贝叶斯的朴素体现在对各个特征的独立性假设，加上独立性假设后，大大减少了参数假设空间，其学习与预测大为简化。 
  尽管条件独立性假设很朴素，但是朴素贝叶斯分类器的分类效果依然很好，即使各特征之间存在较强的相关性。The Optimality of Naïve Bayes一文给出了一种解释，简述如下：特征之间的相关性可能在不同类别中均匀分布，不同特征的相关性可能相互抵消，因此，独立性假设会改变分类的后验概率大小，但不会改变其相对大小，所以不会影响分类结果