greenhand算法学习笔记（2023.9.25）：递归_一.棋盘覆盖填充外层循环控制棋盘行,内层循环交替填充黑色方块-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/z958095372/article/details/132889360

文章介绍了递归在整数拆分、棋盘覆盖问题（分治法）以及发帖水王识别中的应用，通过示例展示了如何使用递归思路解决问题并提供了相关代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

递归思路：

明确问题目标：想清楚自己要解决一个什么样的问题，该问题是否可以拆分成相似的子问题
找到回归条件：所谓回归条件，就是到达某一条件之后函数不能再递归下去，向上逐层返回结果
拆分问题：找到原问题等价的表达式，即将原问题拆分成和原问题相似的子问题

例题分析

1.整数拆分问题

问题：一个整数n，拆分成若干个小于等于m的整数相加的形式，并且左侧的数字要大于右侧的数字，数字顺序颠倒算同一种拆分形式。

（做一下这篇文章的学习笔记，自己做题没看懂，看了这个博主的回答豁然开朗）

整数拆分问题的四种解法_尼奥普兰的博客-优快云博客https://blog.youkuaiyun.com/u011889952/article/details/44813593例：

6=6

5+1

4+2，4+1+1

3+3，3+2+1，3+1+1+1

2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1

1+1+1+1+1+1

一共有11种拆分方法。

思路：

首一，一个可以拆分的整数，其拆分得到的整数也可以拆分（n≥3），所以这可以用递归解决。

第二，当n=1时，只有n=n一种情况，不能再拆分，即；当m=1时，不管n多大，都只有一种情况，即n个1相加，后续不能继续拆分；这两种情况就是该问题的回归条件。

第三，将问题拆分。

当n=m时，如果拆分种含有n，就只有一种情况；如果不含n，则所拆分得到的数一定不大于n-1，就变成了把n拆分成若干个不大于n-1的整数相加的问题，即 $f\left ( n,n-1 \right )$ ，一共有 $f\left ( n,n-1 \right )+1$ 种情况。
当n>m>1时，①如果拆分中包含m，得到的一组拆分中仍有可能存在m，所以变成了整数n-m拆分成不大于m的若干个数相加的问题，即 $f\left ( n-m ,m\right )$ 种情况；②如果不包含m，则拆分得到的一组整数都不大于m-1，所以问题变成了将n拆分成若干个不大于m-1的整数的问题，即 $f\left ( n,m-1 \right )$ ，一共有 $f\left ( n-m,m \right )+f\left ( n,m-1 \right )$ 种情况。
当n<m时，仍然是 $f\left ( n,n \right )$ 的问题。

代码

int GetPartitionCount(int n,int m) {
	if (n==1 || m==1) {//if n==1 or m==1
		return 1;
	}
	else if (n == m) {
		return GetPartitionCount(n, n - 1) + 1;
	}
	else if (n > m&&m > 1) {
		return GetPartitionCount(n, m - 1) + GetPartitionCount(n - m, m);
	}
	else if (n < m) {
		return GetPartitionCount(n, n);
	}
}

2.棋盘覆盖问题

算法分析与设计：棋盘覆盖问题（分治法）_棋盘覆盖问题算法分析_SongXJ--的博客-优快云博客https://blog.youkuaiyun.com/SongXJ_01/article/details/112439322

思路：

将问题转化为递归问题：要将问题拆分成几个相同的子问题，所以对于其他三个没有空缺的子棋盘，利用L形骨牌填充到三个子棋盘交会的顶点，如此一来四个子方块都有一个空缺的子棋盘。
分情况依次递归：按照从左向右，从上到下的顺序依次递归四个子棋盘，每次将棋盘四等分，有空缺的子棋盘继续递归，填充其他三个没有空缺的棋盘，直到子棋盘的大小为1，每次递归后骨牌数加一（后++）。

源码：

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;

int tile = 1;        // 骨牌序号
int** board; // 二维数组模拟棋盘

// (tr,tc)表示初始棋盘左上角的位置, (dr,dc)表示空格子的位置, size=确定棋盘大小，为2的整数次幂
void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size){
	if (size == 1)//回归条件
		return;
	int s = size / 2; //四分
	int t = tile++;   //t记录序号
	// 判断特殊方格在不在左上角棋盘
	if (dr < tr + s && dc < tc + s){//在，就继续递归
		chessBoard(tr, tc, dr, dc, s);
	}
	else{//不在，则填充其他子棋盘
		board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t; //覆盖右下角
		chessBoard(tr, tc, tr + s - 1, tc + s - 1, s); //继续递归
	}
	// 判断特殊方格在不在右上角棋盘
	if (dr < tr + s && dc >= tc + s){
		chessBoard(tr, tc + s, dr, dc, s);
	}
	else{
		board[tr + s - 1][tc + s] = t;//覆盖左下角
		chessBoard(tr, tc + s, tr + s - 1, tc + s, s);
	}
	// 判断特殊方格在不在左下角棋盘
	if (dr >= tr + s && dc < tc + s){
		chessBoard(tr + s, tc, dr, dc, s);
	}
	else{
		board[tr + s][tc + s - 1] = t;//覆盖右上角
		chessBoard(tr + s, tc, tr + s, tc + s - 1, s);
	}

	// 判断特殊方格在不在右下角棋盘
	if (dr >= tr + s && dc >= tc + s){
		chessBoard(tr + s, tc + s, dr, dc, s);
	}
	else{
		board[tr + s][tc + s] = t;//覆盖左上角
		chessBoard(tr + s, tc + s, tr + s, tc + s, s);
	}
}

int main(){
	int boardSize = 0; 
	cout << "请输入棋盘边长（2的整数次幂）：";
	cin >> boardSize;
	board = new int*[boardSize];
	for (int i = 0; i < boardSize; i++) {
		board[i] = new int[boardSize];
		for (int j = 0; j < boardSize; j++) {
			board[i][j] = 0;
		}
	}
	int dr=0, dc = 0;
	cout << "请输入空格子在棋盘中的行、列位置：" << endl;
	cin >> dr >> dc;
	chessBoard(0, 0, dr-1, dc-1, boardSize); // (0, 0)为顶点
	//输出编号
	int i, j;
	for (i = 0; i < boardSize; i++){
		for (j = 0; j < boardSize; j++){
			cout <<setw(5)<< board[i][j] ;
		}
		cout << endl;
		cout << endl;
	}
	return 0;
}

3.循环赛日程表问题

参考：

算法设计与分析——循环赛日程表_循环日程赛算法_何智鹏的博客-优快云博客https://blog.youkuaiyun.com/weixin_44469806/article/details/108936037?ops_request_misc=%257B%2522request%255Fid%2522%253A%2522169494939716800185857243%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334..%2522%257D&request_id=169494939716800185857243&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~all~top_positive~default-2-108936037-null-null.142%5Ev94%5EchatsearchT3_1&utm_term=%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E8%B5%9B%E6%97%A5%E7%A8%8B%E8%A1%A8&spm=1018.2226.3001.4187

代码思路：

最外层循环（m）控制拆分得到的子棋盘的大小：①控制行列数的初始值；②控制不同大小的子棋盘需要进行几次对角填充。
第二层循环（t）控制对角填充时需要多少内层循环几次才能将1个划分的子棋盘填充完整。
最内层的2层循环（i，j）控制子棋盘中逐方块填充。

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;

int** table;

//非递归
void roundRobin(int n) {
	for (int i = 0; i < n; i++) {//初始化数组第0行
		table[0][i] = i + 1;
	}
	for (int m = 1; m < n; m=m<<1) {//m代表该划分的棋盘边长，每循环依次扩大1倍
		for (int t = 1; t <= n / (2*m); t++) {//t代表m级别的划分有几个->一共要做几次交换
			for (int i = m; i < 2 * m; i++) {//row控制需要填充的行位置
				for (int j = m; j < m * 2; j++) {//col控制需要填充的列位置
					//左下角与右下角、左上角与右上角行数相同
					//右下角=左上角
					table[i][j + (t - 1)* m * 2] = table[i - m][j + (t - 1)*m * 2 - m];
					//左下角=右上角
					table[i][j + (t - 1)* m * 2 - m] = table[i - m][j + (t - 1) * 2 * m];
				}
			}
			
		}
	}
}

int main()
{
	int k = 0, num = 0;
	cout << "输入选手个数：";
	cin >> num;//选手个数
	//为二维数组分配内存
	table = new int*[num];
	for (int i = 0; i < num; i++) {
		table[i] = new int[num];
	}
	roundRobin(num);
	for (int i = 0; i < num; i++) {
		for (int j = 0; j < num; j++) {
			if (j == 0) {
				cout << setw(4) << table[i][j] << " |";
			}
			else {
				cout << setw(4) << table[i][j];
			}
		}
		cout << endl;
	}
	return 0;
}

对以上i和j的初始值的问题和对角替换部分的代码进行解释：

（想不到很好的解释办法，先用图表示一下）

4.发帖水王

问题描述：

有某一论坛，其中有一发帖水王，不但喜欢发帖，还会回复其他ID发的每个帖子。“水王”发帖数目超过了帖子总数的一半。如果你有一个当前论坛上所有帖子（包括回帖）的列表，其中帖子作者的ID也在表中，你能快速找出这个传说中的Tango水王吗？

拓展：

如果“水王”没有了。但是有3个发帖很多的ID，发帖数目都超过了帖子总数的1/4。如何快速找出他们的ID？

思路：

思路可以用一句话总结：(每个)发帖水王的发帖数-非水王的发帖数总数>0

如果只有1个水王，他的发帖数一定大于1/2，则非水王的发帖总数一定小于1/2；同理，如果有3个水王，每个水王的发帖总数大于1/4，则非水王的发帖总数一定小于1/4，那么每个水王的发帖数-非水王的发帖总数>0。

源码：

#include <iostream>
using namespace std;

int candidates[3] = { 0,0,0 };
int times[3] = { 0,0,0 };

void find(int ID[], int num) {	
	for (int i = 0; i < num; i++) {
		bool change = false, same = false;
		for (int j = 0; j < 3; j++) {
			if (candidates[j] == ID[i]) {//与某个候选者相同
				times[j]++;
				same = true;	
				break;
			}
		}
		if (!same) {//与三个候选者都不同
			for (int j = 0; j < 3; j++) {
				if (times[j] == 0) {//判断是否有times==0的情况
					candidates[j] = ID[i];
					times[j] = 1;
					change = true;//发生替换
					break;
				}
			}
			if (!change) {//没有times==0的候选者
				for (int j = 0; j < 3; j++) {
					times[j]--;
				}
			}
		}
		
		
	}
}

int main()
{
	//int num = 20;
	//int ID[20] = { 2,3,3,1,2,1,4,3,3,1,1,1,2,5,3,3,1,2,2,2 };
	int num = 16;
	int ID[16] = { 1, 2, 3, 4, 2, 3, 1, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3 };
	find(ID, num);
	cout << "发帖水王的ID为：" ;
	for (int i = 0; i < 3; i++) {
		cout << candidates[i] << "  ";
	}
	return 0;
}

（未完待续2023.9.25）