用母函数的思路解释母函数的代码

最新推荐文章于 2023-05-21 12:17:49 发布

tagyona

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本文介绍了一种使用母函数解决硬币组合问题的方法，通过构造特定的母函数并分解多项式，来计算给定金额下硬币的不同组合数量。文章提供了详细的编程思路和示例代码。

原文链接：http://www.cnblogs.com/lijunle/archive/2010/09/04/1817764.html

转载其中一部分

该文章建立在你已经看过母函数的相关数学知识的基础上，如果没有看过，建议看一下 hdu 论坛的母函数课件，传送门：http://acm.hdu.edu.cn/forum/read.php?tid=3853

用一个最简单的例子说明代码：

硬币面值有1元、5元、10元、25元、50元，一共5种，对于一个钱数 money，可以有多少中兑现方法？

很容易地构造母函数

G(x) = (x^0 + x^1 + x^2 + …) * (x^0 + x^5 + x^10 + …) * (x^0 + x^10 + x^20 + …)

* (x^0 + x^25 + x^50 + x^75 + …) * (x^0 + x^50 + x^100 + x^150 + …)

数学上的思路就拆开这个多项式因式，看看 x^money 的系数是多少。所以，编程的关键是如何实现拆分？

思路是先把前面两个因式拆开，得到一个因式，代替第二个因式；然后用第二个因式（求出来的因式）和第三个因式相乘，代替第三个因式；递归计算到最后一个因式，得出结果。

由于便于编程的实现，我们在 G(x) 前面加多一个因式 (1*x^0 + 0*x^1 + 0*x^2 + … )，这个因式为1，所以并不改变母函数的值。把已经计算出来的因式的系数存放到一个数组 a 里面，把当前因式与下一个因式乘起来的因式的系数放到另外一个数组 b 里面。两个因式乘完了，就把 b 数组里面的数据放到 a 数组里面，把 b 数组清空，重复刚才的步骤，直到最后一个因式都乘进去了，才结束。此时，a 数据里面存放的就是拆分开来的多项式的系数。

代码如下：

#define M 500
 
int a[M];
int b[M];
 
void GenerationFunction()
{
    int cent[5] = {1, 5, 10, 25, 50};
    memset(a, 0, sizeof(a));
    memset(b, 0, sizeof(b));
    a[0] = 1; // 手动添加的一个多项式因式 (1*x^0 + 0*x^1 + 0*x^2 + … )
    for(int i = 0; i < 5; i ++) // i 指向第几个多项式因式（从0开始算）
    {
        for(int j = 0; j < M; j ++)
        {   // j 指向已经算出来的因式的指数，a[j] 存放的是指数为 j 的项的系数
            for(int k = 0; j+k < M; k += cent[i])
            {   // k 代表下一个因式的指数，因式的指数是隔 cent[i] 递增的。
                // 另外，因式中，指数为 k 的项的系数为 1
                 
                b[j+k] += a[j]; // 对于 a[j] * x^j * x^k = a[j] * x^(j+k) 
                                // 就把 x^(j+k) 的系数 a[j] 加到 存放当前答案的数组 b 里面
            }
        }
        for(int j = 0; j < M; j ++)
        { // 把数组 b 元素滚动到 数组 a 去，以便递归进行乘法运算；另外，清空数组 b
            a[j] = b[j];
            b[j] = 0;
        }
    }
}