18、季节性时间序列模型：原理、应用与预测

季节性时间序列模型：原理、应用与预测

1. 季节性 AR 模型

季节性 AR(P) 模型的阶数为 P，季节周期为 s，定义如下：
[Y_t = \Phi_1Y_{t - s} + \Phi_2Y_{t - 2s} + \cdots + \Phi_PY_{t - Ps} + e_t]
其季节性特征多项式为：
[\Phi(x) = 1 - \Phi_1x^s - \Phi_2x^{2s} - \cdots - \Phi_Px^{Ps}]
要求 (e_t) 与 (Y_{t - 1}, Y_{t - 2}, \cdots) 相互独立，并且为了保证平稳性，(\Phi(x) = 0) 的根的绝对值要大于 1。该模型可看作是阶数 (p = Ps) 的特殊 AR(p) 模型，只有在季节滞后 (s, 2s, 3s, \cdots, Ps) 处的 (\varphi) 系数不为零。其自相关函数仅在滞后 (s, 2s, 3s, \cdots) 处不为零，表现为衰减指数和阻尼正弦函数的组合。对于一般的季节性 AR(1) 模型，有 (\rho_{ks} = \Phi^k)（(k = 1, 2, \cdots)），其他滞后处的相关性为零。

2. 乘法季节性 ARMA 模型

很少会用到仅在季节滞后处包含自相关的模型。通过结合季节性和非季节性 ARMA 模型的思想，可以开发出既包含季节滞后自相关，又包含相邻序列值低滞后自相关的简约模型。

例如，考虑一个 MA 特征多项式为 ((1 - \theta x)(1 - \Theta x^{12}) = 1 - \theta x - \Theta x^{12} + \theta\Theta x^{13}) 的