12、时间序列参数估计方法详解

时间序列参数估计方法详解

在时间序列分析中，参数估计是一项至关重要的任务，它有助于我们理解和预测数据的行为。本文将详细介绍几种常见的参数估计方法，包括最小二乘法、极大似然法等，并通过具体的例子展示它们的应用。

1. 最小二乘法估计

最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它通过最小化误差的平方和来确定模型的参数。在时间序列分析中，我们可以将其应用于自回归模型（AR）、移动平均模型（MA）和混合模型（ARMA）。

1.1 自回归模型（AR）

对于一阶自回归模型 (Y_t - \mu = \varphi (Y_{t - 1} - \mu) + e_t)，我们可以将其视为一个回归模型，其中 (Y_{t - 1}) 是预测变量，(Y_t) 是响应变量。最小二乘法估计通过最小化条件平方和函数 (S_c(\varphi, \mu) = \sum_{t = 2}^{n} [Y_t - \mu - \varphi (Y_{t - 1} - \mu)]^2) 来确定 (\varphi) 和 (\mu) 的值。

具体步骤如下：
1. 对 (S_c(\varphi, \mu)) 关于 (\mu) 求偏导数，并令其等于 0，得到 (\mu) 的估计值：
(\frac{\partial S_c}{\partial \mu} = 2\sum_{t = 2}^{n} [Y_t - \mu - \varphi (Y_{t - 1} - \mu)] (1 - \varphi) = 0)
化简后可得：(\hat{\mu} = \frac{1}{(n - 1)(1 - \varphi)} \left(\sum_{t = 2}^{n} Y_t - \