8、类量子神经网络：原理、特性与稳定性分析

类量子神经网络：原理、特性与稳定性分析

1. 类量子网络基础

在类量子网络中，哈密顿量 $H$ 中的每个跳跃算符 $J_{ij}a^{\dagger} ia_j$ 会将子空间 $\wedge^n H$ 映射到自身，这使得 $H$ 呈现出块对角形式。这一特性意味着由基本态叠加表示的基本激发模式，如 $|1 {i_1}, \ldots, 1_{i_m}\rangle = e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_m}$，会被映射到相同等级（或占据数）的状态，即占据数在时间上是守恒的。这是因为 $H$ 本身代表了网络在孤立状态下的无限小时间演化。若要使占据数随时间变化，就需要在 $H$ 中添加代表外部场或刺激的项，如方程 (2.4.34) 所示。

经典的状态空间理论只能处理单占据状态，也就是一级子空间 $H \subset E(H)$ 中的元素。对于更高占据数的状态，即 $n > 1$ 时 $\wedge^n H$ 中的状态，经典理论无法处理。而且，经典处理方法甚至在原理上都无法对纯态和叠加态进行操作或语义上的区分，叠加态的退相干在这些理论中也没有意义。

如果涉及多模态 b 神经元，情况会有所不同，会增加额外的状态和替代（即叠加）的激发模式，有些包含一组输出模式，有些则包含其他组输出模式。

2. 激发模式与本征态

2.1 一般激发模式表示

在时间 $t$ 时，$E(H)$ 的一般元素 $\xi$ 可以表示为：
[
\xi(t) = \sum_{p\geq0} \sum_{i_1<\cdots<i_p} \alpha_{i_1\cdot