7、神经元网络：双室网络与动力学解析

神经元网络：双室网络与动力学解析

在神经元网络的研究中，双室网络（b - network）及其动力学是重要的研究方向。下面将深入探讨双室网络的相关概念、动力学特点以及伪哈密顿量的推导。

1. 双室网络基础概念

1.1 双室神经元与状态空间

双室神经元（b - neuron）可看作是类似费米子的系统，具有两种纯态：“开启”（ON）和“关闭”（OFF）。“开启”状态意味着输出节点有非零值，神经元处于激发状态；“关闭”状态则表示输出节点值为 0，神经元不激发。

对于由多个双室神经元组成的网络，其状态空间可通过外代数来描述。设 (n_i)（(i = 1, \cdots, N)）为双室神经元，单个神经元“开启”的状态空间为 (H := \oplus_{i} Re_i \cong R^N)，其中 (e_i) 对应第 (i) 个双室神经元的输出节点状态。两个神经元“开启”的状态空间为 (\wedge^2 H)，依此类推。所有神经元都不“开启”的状态空间由真空态生成，整个双室神经元网络的状态空间为：
[R \oplus \wedge^2 H \oplus \cdots \oplus \wedge^N H]
这个外代数表示了双室神经元协同作用或协同激发的状态空间，也可看作是激发模式的空间。需要强调的是，这些状态空间是可能性空间，实际系统不一定能实现所有可能状态。

1.2 湮灭与创建算子

在这个状态空间上，定义了通常的湮灭算子 (a_i) 和创建算子 (a^{\dagger} i)（(i = 1, \cdots)）。这里的 dagger 表示转置，因为我们在实数域上工作。其具体作用如下：
[a