38、奇异值分解、CS分解、GSVD及正态分布理论

奇异值分解、CS分解、GSVD及正态分布理论

1. 奇异值分解相关近似

在矩阵近似问题中，对于矩阵 $H$ 的秩 - $r$ 近似 $H_r$，有如下重要性质。当假设 $L \geq p$ 时，没有其他秩 - $r$ 近似到 $H$ 的 Frobenius 范数比 $H_r$ 更小，即：
[tr[(H - H_r)^H(H - H_r)] = \sum_{i = 1}^{p - r} sv_{i + r}^2(H) \leq \sum_{i = 1}^{p - r} sv_{i}^2(H - M) \leq tr[(H - M)^H(H - M)]]
对于 $L \leq p$ 的情况，也可通过类似的论证得到相同结论。同时，$H_r$ 还能使秩 - $r$ 近似的 $\ell_2$ 范数最小，因为 $sv_1^2(H - H_r) = sv_{r + 1}^2(H) \leq sv_1^2(H - M)$。

2. CS分解和GSVD

2.1 CS分解

CS 分解即余弦 - 正弦分解。对于一个 $L \times p$ 的酉切片 $Q \in C^{L\times p}$（$L \geq p$），它有一个平凡的奇异值分解 $Q = U\Sigma V^H$，其中 $U = Q$，$\Sigma V$ 是一个 $p \times p$ 的单位矩阵。在双信道问题中，矩阵 $Q$ 自然地分解为两个子矩阵 $A \in C^{L_X\times p}$ 和 $B \in C^{L_Y\times p}$（$L_X \geq p$ 且 $L_Y \geq p$），即：
[Q = \begin{bmatrix}A\B\end{bmatr