28、子空间平均：理论、应用与算法实现

子空间平均：理论、应用与算法实现

1. 子空间平均基础

子空间平均在许多领域都有重要应用，其核心在于确定平均或中心子空间以及该平均子空间的维度。在进行子空间平均时，我们首先需要对相关子空间进行采样。对于子空间维度 (q_r)，我们从均匀分布 (U(q - 1, q + 1)) 中采样，然后从 (MACG(\varLambda)) 分布中采样一个 (q_r) 维子空间。具体来说，采样过程如下：
- 从正态分布 (Z_r \sim N_{n\times q_r}(0, I_{q_r} \otimes \varLambda)) 中采样。
- 通过 (X_r = Z_r(Z_r^T Z_r)^{-1/2}) 提取其 (n \times q_r) 极分解的方向矩阵。

图 9.3 展示了子空间平均的估计维度与信噪比（SNR）的关系，其中涉及不同的 (q)（真实中心子空间的维度）和 (n)（环境空间的维度）值。这里平均子空间的数量 (R = 50)，曲线代表 500 次独立模拟的平均结果。可以看到，在 SNR = 0 dB 附近，存在从估计阶数 (s^ = 0)（无中心子空间）到正确阶数 (s^ = q) 的过渡行为。

2. 平均投影矩阵

当使用弦距离来衡量子空间之间的成对差异时，相应正交投影矩阵的平均值在确定子空间平均及其维度方面起着核心作用。下面我们来看看平均投影矩阵 (P = \frac{1}{R} \sum_{r = 1}^{R} P_r) 的一些性质：
- 对称性 ：(P) 是对称矩阵，因为它是对称矩阵的平均值。
- 特征值范围