15、多元正态模型中的相干性与经典检验

多元正态模型中的相干性与经典检验

1. 多元正态模型中的最大似然协方差识别

在多元正态（MVN）模型里，协方差矩阵 $R$ 的任何估计 $\hat{R}$ 都能通过缩放形成 $a\hat{R}$（$a > 0$）。重复引理 4.1 的证明步骤，使似然函数最大化的缩放因子满足 $\text{tr}(\hat{R}^{-1}(X - M)(X - M)^H)/a^* = L$。这一结果适用于协方差的任何估计，自然也适用于其最大似然估计。

基于引理 4.1，$R$ 的最大似然识别可表述为在迹约束 $\text{tr}(R^{-1/2}SR^{-1/2}) = L$ 下，最大化 $\log \det(R^{-1/2}SR^{-1/2})$ 的问题。由于 $\log \det(R^{-1/2}SR^{-1/2})$ 是 $(\det(R^{-1/2}SR^{-1/2}))^{1/L}$ 的单调函数，等价问题变为在 $\text{tr}(T) = L$ 的条件下，最大化 $(\det(T))^{1/L}$，其中 $T = R^{-1/2}SR^{-1/2}$ 是白随机向量 $R^{-1/2}x \sim \mathcal{CN}_L(0, I_L)$ 的样本协方差矩阵。通过定义 $T’ = T/(\text{tr}(T)/L)$ 可消除迹约束，此时 $\text{tr}(T’) = L$，问题就转化为最大化 $(\det(T’))^{1/L}$，也就是最大化 $(\det(R^{-1/2}SR^{-1/2}))^{1/L}/\frac{1}{L}\text{tr}(R^{-1/2}SR^{-1/2})$。

所以，在多元正态模型中，协方差的最大似然识别是在 $R \in \mathcal