POJ 1830 开关问题 (高斯消元)

本文介绍了一个使用高斯消元法解决特定开关状态问题的算法。问题涉及通过有限次操作使一系列相互关联的开关达到指定状态，通过构建方程组并应用高斯消元法求解自由变量的数量来确定解决方案的数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：有N个相同的开关，每个开关都与某些开关有着联系，每当你打开或者关闭某个开关的时候，其他的与此开关相关联的开关也会相应地发生变化，即这些相联系的开关的状态如果原来为开就变为关，如果为关就变为开。你的目标是经过若干次开关操作后使得最后N个开关达到一个特定的状态。对于任意一个开关，最多只能进行一次开关操作。你的任务是，计算有多少种可以达到指定状态的方法。（不计开关操作的顺序）

解法：由开关之间的关联关系可建立n个方程，构成一个n阶增广矩阵，用高斯消元求解，若最后有k个自由元，则答案为2^k。时间复杂度为n^3。

/* Created Time: Thursday, October 31, 2013 PM06:37:21 CST */
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int M = 33;
int n,g[M][M];
int Gauss() {
    int k,col;
    for (k = 0,col = 0; k<n && col<n; k++,col++) {
        int max_r = k;
        for (int i = k+1; i < n; i ++) 
            if (g[i][col]>g[max_r][col]) max_r = i;
        if (g[max_r][col]==0) {
            k--;
            continue;
        }
        if (max_r!=k) 
            for (int j = col; j <= n; j ++)
                swap(g[k][j],g[max_r][j]);
        for (int i = k+1; i < n; i ++) 
            if (g[i][col]) 
                for (int j = col; j <= n; j ++) 
                    g[i][j] ^= g[k][j];
    }
    for (int i = k; i < n; i ++)
        if (g[i][col]) return -1;
    return 1<<(n-k);
}
int main() {
    int cas,a,b;
    scanf("%d",&cas);
    while (cas--) {
        scanf("%d",&n);
        memset(g,0,sizeof(g));
        for (int i = 0; i < n; i ++) 
            scanf("%d",&g[i][n]);
        for (int i = 0; i < n; i ++) {
            scanf("%d",&a);
            g[i][i] = 1;
            g[i][n] ^= a;
        }
        while (~scanf("%d%d",&a,&b),a||b) 
            g[b-1][a-1] = 1;
        int ans = Gauss();
        if (ans<0) puts("Oh,it's impossible~!!");
        else printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}