POJ1830--开关问题

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本文探讨了在给定初始开关状态和目标状态的情况下，如何通过数学方法计算出达到目标状态的不同操作方法的数量。利用增广矩阵和高斯消元法解决线性方程组，进而得出解的数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

有N个相同的开关，每个开关都与某些开关有着联系，每当你打开或者关闭某个开关的时候，其他的与此开关相关联的开关也会相应地发生变化，即这些相联系的开关的状态如果原来为开就变为关，如果为关就变为开。你的目标是经过若干次开关操作后使得最后N个开关达到一个特定的状态。对于任意一个开关，最多只能进行一次开关操作。你的任务是，计算有多少种可以达到指定状态的方法。（不计开关操作的顺序）

Input

输入第一行有一个数K，表示以下有K组测试数据。
每组测试数据的格式如下：
第一行一个数N（0 < N < 29）
第二行 N个0或者1的数，表示开始时N个开关状态。
第三行 N个0或者1的数，表示操作结束后N个开关的状态。
接下来每行两个数I J，表示如果操作第 I 个开关，第J个开关的状态也会变化。每组数据以 0 0 结束。

Output

如果有可行方法，输出总数，否则输出“Oh,it's impossible~!!” 不包括引号

Sample Input

Sample Output

4
Oh,it's impossible~!!

思路：可以得到n个异或方程。左边为开关1到n的选择，右边一列分别为1到n的最终状态。

     开关u影响v，则a[v-1][u-1] = 1.

     问题转换为求自由变元的个数。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
using namespace std;
//对2取模的01方程组
const int MAXN = 40;
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,列数为var+1,分别为0到var
int equ,var;
int a[MAXN][MAXN]; //增广矩阵
int x[MAXN]; //解集
int free_x[MAXN];//用来存储自由变元（多解枚举自由变元可以使用）
int free_num;//自由变元的个数

//返回值为-1表示无解，为0是唯一解，否则返回自由变元个数
int Gauss()
{
    int max_r,col,k;
    free_num = 0;
    for(k = 0, col = 0 ; k < equ && col < var ; k++, col++)
    {
        max_r = k;
        for(int i = k+1;i < equ;i++)
        {
            if(abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col]))
                max_r = i;
        }
        if(a[max_r][col] == 0)
        {
            k--;
            free_x[free_num++] = col;//这个是自由变元
            continue;
        }
        if(max_r != k)
        {
            for(int j = col; j < var+1; j++)
                swap(a[k][j],a[max_r][j]);
        }
        for(int i = k+1;i < equ;i++)
        {
            if(a[i][col] != 0)
            {
                for(int j = col;j < var+1;j++)
                    a[i][j] ^= a[k][j];
            }
        }
    }
    for(int i = k;i < equ;i++)
        if(a[i][col] != 0)
            return -1;//无解
    if(k < var) return var-k;//自由变元个数
    //唯一解，回代
    for(int i = var-1; i >= 0;i--)
    {
        x[i] = a[i][var];
        for(int j = i+1;j < var;j++)
            x[i] ^= (a[i][j] && x[j]);
    }
    return 0;
}
void init()
{
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(x,0,sizeof(x));
}
int start[MAXN],end[MAXN];

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    int n;
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i = 0;i < n;i++)
            scanf("%d",&start[i]);
        for(int i = 0;i < n;i++)
            scanf("%d",&end[i]);
        init();
        equ = var = n;
        for(int i = 0;i < n;i++)
            a[i][i] = 1;
        int u,v;
        while(scanf("%d%d",&u,&v) == 2)
        {
            if(u == 0 && v == 0)break;
            a[v-1][u-1] = 1;
        }
        for(int i = 0;i < n;i++)
            a[i][n] = (start[i]^end[i]);
        int ans = Gauss();
        if(ans == -1)
            printf("Oh,it's impossible~!!\n");
        else printf("%d\n",(1<<ans));
    }
    return 0;
}