7 | 时空复杂度分析_c++一秒能计算多少次-优快云博客

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文章讨论了在C++编程中，根据不同的数据范围如何选择合适的算法以达到最佳的时间复杂度。从n≤30的指数级问题到n≤10^18的对数级问题，涵盖了dfs、dp、floyd、排序算法、树状数组、堆、AC自动机等多种算法及其适用的数据范围。同时，文章提到了递归算法的时间复杂度分析，包括主定理和递归树方法来确定复杂度。

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7 时空复杂度分析

一般来说，c++每秒钟可以算10⁷~ 10⁸ 次

类型总结

yxc总总结有：

[由数据范围反推算法复杂度以及算法内容](由数据范围反推算法复杂度以及算法内容 - AcWing):

一般ACM或者笔试题的时间限制是1秒或2秒。
在这种情况下，C++代码中的操作次数控制在10⁷为最佳。

下面给出在不同数据范围下，代码的时间复杂度和算法该如何选择：

n≤30, 指数级别, dfs+剪枝（暴力搜素），状态压缩dp
n≤100 → O(n3)，floyd，dp
n≤10^3 → O(n2)，O(n2logn)，dp，二分
n≤10^4 → O(n∗√n) ，块状链表
n≤10^5 → O(nlogn) => 各种sort，线段树、树状数组、set/map、heap、dijkstra+heap、spfa、求凸包、求半平面交、二分
n≤10^6 → O(n), 以及常数较小的O(nlogn) 算法 => hash、双指针扫描、并查集、kmp、AC自动机，常数比较小的 O(nlogn) 的做法：sort、树状数组、heap、dijkstra、spfa
n≤10^7 → O(n)，双指针扫描、kmp、AC自动机、线性筛素数
n≤10^9 → O(√n)，判断质数
n≤10^18 → O(logn)，最大公约数

代码时间复杂度分析

主要是对递归代码的时间复杂度进行分析

纯循环

观察代码中的循环即可
递归算法

递归算法的时间复杂度本质上是 递归的次数 ***** 每次递归中操作的次数
- 使用递推方法求时间复杂度（也就是写出式子一个一个求就可以了）
- 主定理(Master Theorem)
  
  What_is_the_Master_Theorem:
  
  if $aT(\left[\frac{n}{b}\right])+O(n^d)$ (for constants $\ge 0$ ), then:
  
  $T(n)=\left\{ \begin{aligned} O(n^d) ~~~ if~~d~>~log_b~a\\ O(n^d~log~n) ~~~ if~~d~=~log_b~a\\ O(n^{log_b~a}) ~~~ if~~d~<~log_b~a \end{aligned} \right.$
  
  其中，n 是问题规模的大小，a 是原问题子问题的个数，n/b 是每个子问题的大小， O(n^d) 是将原问题分解成子问题和将子问题的解合并成原问题的解的时间（这里O(n)^d其实可以等价于写成f(n)，然后就可以用 $O(n^{log_b~a})$ 和f(n)进行比较了）。
  
  在这篇专栏中有一些例子：主定理(Master Theorem) - 知乎 (zhihu.com)
- 递归树
  
  递归树的规则为：
  
  (1) 每层的节点为T(n) = kT(n / m) + f(n)中的f(n)在当前的n/m下的值；
  
  (2) 每个节点的分支数为k；
  
  (3) 每层的右侧标出当前层中所有节点的和。
  
  在这篇博客的文末有两个详细的例子：三种方法求递归算法的时间复杂度（递推，master定理，递归树）_毕业势必进大厂的博客-优快云博客_递归求时间复杂度