1.2基础算法 | 高精度、前缀和、差分-优快云博客

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本文深入讲解了高精度算法包括加法、减法、乘法和除法的具体实现，并介绍了前缀和与差分两种核心思想及其应用案例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1.2 基础算法(二)

这是我的一个算法网课学习记录，道阻且长，好好努力

1.2.1 高精度

A + B len 10⁶

A - B len 10⁶

A * a len(A) <= 10⁶, a <= 1e4;

A / a

大整数 big decimal

大整数存储 (倒着来，第一位存储各位；如果要进位，在最后补上一个数据；存储格式是一样的)

高精度加法

逢10进1，C_i = A_i + B_i + t， (t = 0, 1);

// 高精度加法
#include <iostream>
#include <vector> //size

using namespace std;

// const int N = 1e6 + 10;

// C = A + B
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B) // 加&,使其不copy,提高效率
{
    vector<int> C; 
    
    int t = 0; // 进位
    for (int i = 0; i < A.size() || i < B.size(); i ++ )
    {
        if (i < A.size()) t += A[i];
        if (i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    
    if (t) C.push_back(1);
    return C;
}

int main()
{
    string a, b;
    vector<int> A, B;
    
    cin >> a >> b; // a = "123456"
    // 倒序存储  
    // A = [6, 5, 4, 3, 2, 1]
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i -- ) A.push_back(a[i] - '0'); 
    for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i -- ) B.push_back(b[i] - '0'); 
    
    auto C = add(A, B); // auto用于自动型别推导
    
    for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i -- ) printf("%d", C[i]);
    return 0;
}

高精度减法

// 高精度减法
#include <iostream>
#include <vector> //size

using namespace std;

// const int N = 1e6 + 10;

bool cmp(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    if (A.size() != B.size()) return A.size() > B.size();
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
        if (A[i] != B[i])
            return A[i] > B[i];
    return true;
}

// C = A - B
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B) // 加&,使其不copy,提高效率
{
    vector<int> C; 
     
    int t = 0; // 借位与否
    for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
		t = A[i] - t;
        if (i < B.size()) t -= B[i];
        C.push_back((t + 10) % 10);
        if (t < 0) t = 1;
        else t = 0;
    }
    
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    
    return C;
}

int main()
{
    string a, b;
    vector<int> A, B;
    
    cin >> a >> b; // a = "123456"
    // 倒序存储  
    // A = [6, 5, 4, 3, 2, 1]
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i -- ) A.push_back(a[i] - '0'); 
    for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i -- ) B.push_back(b[i] - '0'); 
    
   int main()
{
    string a, b;
    vector<int> A, B;
    
    cin >> a >> b; // a = "123456"
    // 倒序存储  
    // A = [6, 5, 4, 3, 2, 1]
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i -- ) A.push_back(a[i] - '0'); 
    for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i -- ) B.push_back(b[i] - '0'); 
    
    if (cmp(A, B))
    {
        auto C = sub(A, B); // auto用于自动型别推导
        
        for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i -- ) printf("%d", C[i]);
    }
    else
    {
        auto C = sub(B, A);
        
        printf("-");
        for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i -- ) printf("%d", C[i]);
    }
        
    return 0;
}
        
    return 0;
}

高精度乘法

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// C = A * b
vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
	vector<int> C;
    int t = 0; // 进位
    
    for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
    {
        if (i < A.size()) t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
	return C;
}

int main()
{
    string a;
    int b;
    cin >> a >> b;

    vector<int> A;
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i -- ) A.push_back(a[i] - '0');

    auto C = mul(A, b);

    for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i -- ) printf("%d", C[i]);
    return 0;
}

高精度除法

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

// 返回商，并更新r为余数
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r) {
    vector<int> C;
    r = 0;
    // A是将一个整数逆序存储的，所以其最高位是最后一位，要以从最高位到最低位的次序计算
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i--) {
        r = r * 10 + A[i];
        C.push_back(r / b);
        r %= b;
    }

    reverse(C.begin(), C.end());
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();

    return C;
}

int main() {
    string a;
    int b;

    cin >> a >> b;

    vector<int> A;
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--)  A.push_back(a[i] - '0');

    int r;
    auto C = div(A, b, r);
    for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) printf("%d", C[i]);
    cout << endl << r << endl;

    return 0;
}

1.2.2 前缀和

(其实这是一个思想)

一维前缀和

原i: a₁ ,a₂, a₃, … , a_n

前缀和: S_i = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_i

两段相减可以得到任意的一段数组的和

S_r - S_L-1 ---->O₍₁₎

// 一维前缀和

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int n, m;
int a[N], s[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) s[i] = s[i - 1] + a[i]; //前缀和的初始化
    
    while (m -- )
    {
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]); // 区间和的计算
    }
    return 0; 
}

关于初始化int数组，记住三点：

全局数组，未初始化时，默认值都是 0；
局部数组，未初始化时，默认值为随机的不确定的值；
局部数组，初始化一部分时，未初始化的部分默认值为 0；

二维前缀和

主要是公式。具有容斥原理的思想；重复step by step。

#include <iostream>

const int N = 1010;

int n, m, q; 
int a[N][N], s[N][N];

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            scanf("%d", &a[i][j]); 
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j]; // 求前缀和
    
    while (q -- )
    {
        int x1, x2, y1, y2;
        scanf("%d%d%d%d", &x1, &x2, &y1, &y2);
        printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1];  // 求子矩阵的和(靠近右下角边框)
    }
    return 0;
}

1.2.3 差分

差分是前缀和的逆运算

并不需要考虑如何构造，需要考虑如何更新

一维差分

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;
int n, m;
int a[N], b[N];

void insert(int l, int r, int c)
{
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]); // 插入
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) insert(i, i, a[i]);
        
    while (m -- )
    {
        int l, r, c;
        scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
        insert(l, r, c);
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
    {
        b[i] += b[i - 1];
        printf("%d ", b[i]);
    }
    return 0;
}

for (int i = 1; i <= n; i ++ ) insert(i, i, a[i]);

这一步将辅助数组b转换成了差分的形式:

a₁ a₂ a₃ a₄ … a_n-1 a_n

-a₁ -a₂ -a₃… -a_n-2 -a_n-1 -a_n

二维差分

// 差分矩阵
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e2 + 10;

int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
// 对于矩形的左上角顶点运用容斥原理

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            scanf("%d", &a[i][j]);
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);
    
    while (q -- )
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            printf("%d", b[i][j]);
        puts("");
    }
        
    return 0;
}