洛谷P2964 [USACO09NOV]硬币的游戏A Coin Game

yzyyylx

于 2018-11-04 07:58:01 发布

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分类专栏：技巧 dp 博弈

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本文介绍了一种硬币博弈问题的动态规划解决方案，通过优化状态转移方程，将时间复杂度从O(n^3)降低到O(n^2)，并提供了详细的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题面

题意

有一叠硬币，每个硬币有一个币值，双方轮流操作，每个人至少取一枚硬币，最多取上一个人取的数量的两倍（第一个人最多取1枚），问先手至多能得到的硬币币值之和为多少。

做法

首先定义状态 $d p [i] [j]$ 表示还剩下 $i$ 枚硬币，上一个人取了 $j$ 枚硬币时的最大币值和，然后发现如果暴力转移，则时间复杂度是 $O(n^3)$ ，但是我们可以发现 $d p [i] [j]$ 只比 $d p [i] [j - 1]$ 多了两种转移，因此我们可以根据这个来优化，状态转移被优化成了 $O (1)$ ，总复杂度为 $O(n^2)$ 。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 2100
using namespace std;

int n,dp[N][N],qz[N],num[N];

int main()
{
	int i,j;
	cin>>n;
	for(i=n;i>=1;i--) scanf("%d",&num[i]);
	for(i=1;i<=n;i++) qz[i]=qz[i-1]+num[i];
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=1;j<=n;j++)
		{
			dp[i][j]=dp[i][j-1];
			if(i>=j*2-1) dp[i][j]=max(dp[i][j],qz[i]-dp[i-j*2+1][j*2-1]);
			if(i>=j*2) dp[i][j]=max(dp[i][j],qz[i]-dp[i-j*2][j*2]);
		}
	}
	cout<<dp[n][1];
}