应用笔记AN1078一阶数字低通滤波器推导和相位延迟计算

本文详细阐述了一阶数字低通滤波器的原理,通过反电动势滤波应用笔记AN1078中的公式,解释了其在电机驱动中的作用,并深入分析了截止频率与电机参数的关系,揭示了相位延时特性。

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Microchip 的应用笔记 AN1078 中用作反电动势滤波的一阶数字低通滤波器由原文中的公式 4 给出,如下:

y(n)=y(n1)+T2πfc(x(n)y(n))

该滤波器又称作一阶 RC 数字低通滤波器,该公式可由下图所示的 RC 低通滤波电路中推导出来。

由电路学知识可得:
Vin=Vout+RCdVoutdt

其截止频率为:
ωc=2πfc=1RC

于是有:
2πfc(VinVout)=dVoutdt

在数字域中,该方程式为:
2πfc(x(n)y(n))=y(n)y(n1)T

整理后可得:
y(n)=y(n1)+T2πfc(x(n)y(n))

原式得证。

关于此滤波器,应用笔记 AN1078 中还有如下一段描述:

截止频率的值被设置为等于驱动电流和电机电压的频率,该频率等于每秒的电气旋转圈数。由于自适应滤波器的实现方式,会有一个固定的相位延时(每个滤波器 -45°),用于所有速度范围内的 θ 补偿,因为截止频率会随着电机提速而改变。

RC 低通滤波电路的相移角公式如下:

φ=arctan(2πfRC)=arctan(ffc)

不妨令 f=fc,代入上式可得相移角为 φ=arctan(1)=45°。即当截止频率等于输入信号的频率时,滤波器有一个固定的 -45° 的相位延时。

### 低通滤波器相位补偿工作机制解释 低通滤波器中的相位补偿主要通过调整信号路径中不同频率成分的时间延迟来实现。对于滞后超前型低通滤波器而言,在特定频率范围内引入额外的相移可以改善系统的稳定性平稳响应性能[^1]。 #### 滞后超前型低通滤波器工作原理 此类滤波器能够在保持良好幅度特性的同时提供必要的相位修正功能。具体来说: - **滞后期**:在较低频率处表现为纯积分作用,即对输入信号施加负角度偏转; - **超前期**:随着频率升高至某转折点之后转变为微分行为,此时会给予正向的角度增量; 这种结构使得整个传递函数既能在高频部分有效削减噪声干扰又可在适当位置补充所需相角裕度以优化动态表现[^4]。 #### 实现方式与参数选择 为了构建具备上述特点的实际电路模型,通常采用运算放大器配合电阻电容网络构成典型的或二拓扑形式。例如利用UAF42这样的专用集成电路能够便捷地配置成所需的滤波模式,并借助外部元件灵活设定关键属性如中心频率、品质因数(Q)以及增益等参量[^3]。 ```circuitikz \begin{circuitikz}[american, scale=0.85] % Components placement \node[op amp] (opamp) at (0,0) {}; \draw (opamp.-) to[R=$R_1$, *-*] ++(-2,0) coordinate (in) node[left]{Input} (opamp.out) --++(right:2cm)node[right]{Output}; \draw (opamp.-) |- ($(opamp.up)+(.7,.5)$); \draw (opamp.+)--++(left:.5); % Feedback loop with C and R parallel connection \draw (opamp.out) to[C=$C_f$,*-*] ++(up:1.5) -| (opamp.-); \draw ([yshift=-2mm]$(opamp.out)!0.5!(opamp.-)$) to[R=$R_f$,-*]([yshift=2mm]$(opamp.out)!0.5!(opamp.-)$); \end{circuitikz} ``` 此图展示了个简单的运放基础架构用于创建具有相位补偿特性的低通滤波器实例。请注意实际应用时需依据具体需求精确计算各组件数值并考虑温度漂移等因素的影响。
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