堆排列

由于每次重新恢复堆的时间复杂度为O(logN),共N - 1次重新恢复堆操作,再加上前面建立堆时N / 2次向下调整,每次调整时间复杂度也为O(logN)。二次操作时间相加还是O(N * logN)。故堆排序的时间复杂度为O(N * logN)。

//堆排序:利用 最大堆 max_heap

//从数组的0位置开始
int LeftChild(int i){
    return (2 * i + 1);
}

//对位置i上的元素进行下滤操作 percolate down
template<typename T>
void PercDown(T A[], int i, int N){
    int child;
    T tmp;

    for (tmp = A[i]; LeftChild(i) < N; i = child){
        child = LeftChild(i);
        if (child != N - 1 && A[child + 1]>A[child]){
            child++;
        }
        if (tmp < A[child]){
            A[i] = A[child];
        }
        else{
            break;
        }

    }
    A[i] = tmp;  //避免多次的交换操作
}

template<typename T>
void HeapSort(T A[], int N){
    int i;
    T tmp;
    for (i = N / 2; i >= 0; i--){
        PercDown(A, i, N);  //build heap
    }
    for (i = N - 1; i > 0; i--){  //用来控制堆的大小
        //swap(&A[0],&A[i];  //deletemax  //每次删除最大值放到最后,完成后元素从小到大排列
        tmp = A[0];
        A[0] = A[i];
        A[i] = tmp;

        PercDown(A, 0, i);
    }
}
### C语言堆排序算法实现与用法 堆排序是一种基于二叉数据结构的比较排序算法,其时间复杂度为 \(O(n \log n)\)堆排序的核心思想是将待排序数组构建成一个最大或最小,然后通过不断提取顶元素并调整剩余部分重新构建来完成排序。 #### 1. 堆排序的基本原理 堆排序分为两个主要阶段:构建和调整。 - **构建**:从最后一个非叶子节点开始,逐层向上调整子树,使得每个父节点都满足的性质(最大中父节点值大于等于子节点值,最小中父节点值小于等于子节点值)[^3]。 - **调整**:在每次提取顶元素后,需要对剩余部分进行调整以保持的性质。这一过程通常称为“向下调整”[^4]。 #### 2. C语言实现堆排序 以下是堆排序的具体实现代码: ```c #include <stdio.h> // 交换两个元素 void swap(int* a, int* b) { int temp = *a; *a = *b; *b = temp; } // 向下调整函数 void AdjustDown(int arr[], int parent, int length) { int child = 2 * parent + 1; // 左孩子 while (child <= length) { if (child + 1 <= length && arr[child] < arr[child + 1]) { child++; // 找到左右孩子的较大者 } if (arr[parent] >= arr[child]) { break; // 如果父节点大于等于孩子节点,则无需调整 } swap(&arr[parent], &arr[child]); // 交换父节点和孩子节点 parent = child; // 更新父节点位置 child = 2 * parent + 1; // 更新孩子节点位置 } } // 堆排序主函数 void HeapSort(int arr[], int nums) { // 构建初始 for (int i = (nums - 1) / 2; i >= 0; i--) { AdjustDown(arr, i, nums - 1); } // 进行排序 for (int i = nums - 1; i >= 1; i--) { swap(&arr[0], &arr[i]); // 将当前最大值放到数组末尾 AdjustDown(arr, 0, i - 1); // 对剩余部分重新调整 } } // 测试堆排序 int main() { int arr[] = {50, 12, 77, 8, 10, 66, 99, 32}; int nums = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); printf("原始数组: "); for (int i = 0; i < nums; i++) { printf("%d ", arr[i]); } printf("\n"); HeapSort(arr, nums); printf("排序后数组: "); for (int i = 0; i < nums; i++) { printf("%d ", arr[i]); } printf("\n"); return 0; } ``` #### 3. 代码解析 - **`swap` 函数**:用于交换数组中的两个元素。 - **`AdjustDown` 函数**:实现向下调整操作,确保以某个节点为根的子树满足的性质[^1]。 - **`HeapSort` 函数**:首先调用 `AdjustDown` 构建初始,然后通过不断交换顶元素与最后一个元素,并对剩余部分重新调整来完成排序[^2]。 #### 4. 时间复杂度分析 - **构建的时间复杂度**:\(O(n)\),因为每个节点只需要调整一次。 - **调整的时间复杂度**:每次调整的操作复杂度为 \(O(\log n)\),总共需要进行 \(n\) 次调整,因此总复杂度为 \(O(n \log n)\)[^1]。 #### 5. 使用方法 堆排序适用于需要高效排序且空间复杂度要求较低的场景。由于堆排序是原地排序算法,不需要额外的存储空间,因此非常适合大规模数据的排序任务。
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