R-2R”T“形电阻网络D/A转换公式推导

R-2R”T“形电阻网络D/A转换原理

D/A转换器的作用是将数字量转换为相应的模拟量，它的核心部件是电阻网络，R-2R”T“形电阻网络就是其中的一种形式。下面给出输入的数字量D与输出$V_{out}$关系的推导过程。

上图是R-2R”T“形电阻网络，$D_0$，$D_1$，…，$D_{n-1}$表示输入的数字量D的n位，$D_0$是最低位。

①根据运算放大器电路的叠加原理，可以得到输出$V_{out}$与$V_0$，$V_1$，…，$V_{n-1}$的关系：

$$\frac{V_{out}}{R_f} = -(\frac{D_0V_0}{2R}+\frac{D_1V_1}{2R}+...\frac{D_{n-1}V_{n-1}}{2R})$$
对上式进行化简可得：
$$V_{out}=- \frac{R_f}{2R}\sum_{i=0}^{n-1} D_iV_i ......式（1）$$
② 根据虚短的性质找到$V_0$，$V_1$，…，$V_{n-1}$与$V_{ref}$的关系：
从$D_0$处看，因为运放有虚短的性质，所以不管$D_0$是0或1，$V_0$处的两个2R是并联关系，并联之后的电阻为R，由分压公式可得$V_0=\frac{V_1}{2}$始终成立。以此类推：
$$V_1=\frac{V_2}{2}$$ $$V_2=\frac{V_3}{2}$$ $$...$$ $$V_{n-2}=\frac{V_{n-1}}{2}=\frac{V_{ref}}{2}$$
根据以上规律可得：
$$V_0=\frac{V_{ref}}{2^{n-1}}$$ $$V_1=\frac{V_{ref}}{2^{n-2}}$$ $$...$$ $$V_{n-1}=\frac{V_{ref}}{2}$$
可以写出通式：$V_i=\frac{V_{ref}}{2^{n-1-i}}$，将此式代入式（1）得：
$$V_{out}=- \frac{R_f}{2R}\sum_{i=0}^{n-1} D_i\frac{V_{ref}}{2^{n-1-i}}=-\frac{R_f}{R}.V_{ref}.\sum_{i=0}^{n-1}\frac{ D_i}{2^{n-i}}......式（2）$$
③由二进制数与各位之间的关系有：$D=D_0+D_1*2+D_2*2^2+...+D_{n-1}*2^{n-1}$，对此式两边通时除以$2^n$得：
$$\frac{D}{2^n}=\frac{D_0}{2^n}+\frac{D_1}{2^{n-1}}+\frac{D_2}{2^{n-2}}+...+\frac{D_{n-1}}{2}$$
即： $$\frac{D}{2^n}=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{ D_i}{2^{n-i}}......式（3）$$
④把式（3）代入式（2）即可得到最终结论：
$$V_{out}=-\frac{D}{2^n}.\frac{R_f}{R}.V_{ref}$$
式中，n为D/A转换器的位数；D为输入的数字量；$V_{ref}$为参考电压；$V_{out}$为数字量D对应的输出电压。
如果取$R_f=R$，则得到： $$V_{out}=-\frac{D}{2^n}.V_{ref}$$
此时，若D/A转换器是8位的，则得到输入的数字量D与输出量$V_{out}$的关系： $$V_{out}=-\frac{D}{256}.V_{ref}$$

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