两球体积交

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int N = 2e6;
const long long  inf = 1e9;
const long long mod = 998244353;
const double PI = acos(-1);
struct Point
{
    long  double x, y, z;
}p[6];
struct Ball
{
    Point o;
    long double r;
} o[4];
int n;
double r1, r2;
long double a, b, c, d, w;
int k, k2;
long double getdis(Point a, Point b)
{
    return sqrt((b.x - a.x) * (b.x - a.x) + (b.y - a.y) * (b.y - a.y) + (b.z - a.z) * (b.z - a.z));
}
long double get_Ball_area(struct Ball a, struct Ball b)
{
    long double ans = 0;
    long double dis = getdis(a.o, b.o);
    long double  r1 = a.r, r2 = b.r;
    Point  o1 = a.o, o2 = b.o;
    if (dis >= r1 + r2) return 0;
    if (dis + r1 <= r2) return 1.0 * 4 / 3 * PI * r1 * r1 * r1;
    if (dis + r2 <= r1) return 1.0 * 4 / 3 * PI * r2 * r2 * r2;
    long double cosa = (r1 * r1 + dis * dis - r2 * r2) / (2.0 * r1 * dis);
    long double d1 = r1 - r1 * cosa;
    ans += PI * (r1 * d1 * d1 - 1 / 3.0 * d1 * d1 * d1);//求冠面积公式
    long double cosb = (r2 * r2 + dis * dis - r1 * r1) / (2.0 * r2 * dis);
    long double d2 = r2 - r2 * cosb;
    ans += PI * (r2 * d2 * d2 - 1 / 3.0 * d2 * d2 * d2);
    return ans;
}
int main()
{
    int T;
    cin >> T;
    while (T--)
    {
        for (int i = 1; i <= 4; i++)
            cin >> p[i].x >> p[i].y >> p[i].z;
           cin >> k >> k2;
        a = k * k - 1;
        b = k * k * p[2].x - p[1].x;
        c = k * k * p[2].y - p[1].y;
        d = k * k * p[2].z - p[1].z;
        w = k * k*(p[2].x * p[2].x + p[2].y * p[2].y + p[2].z * p[2].z) - p[1].x * p[1].x - p[1].y * p[1].y - p[1].z * p[1].z;
        o[1].o = { b / a,c / a,d / a };
        o[1].r = sqrt((b * b + c * c + d * d - w * a) / (a * a));
        a = k2 * k2 - 1;
        b = k2 * k2 * p[4].x - p[3].x;
        c = k2 * k2 * p[4].y - p[3].y;
        d = k2 * k2 * p[4].z - p[3].z;
        w = k2 * k2*(p[4].x * p[4].x + p[4].y * p[4].y + p[4].z * p[4].z) - p[3].x * p[3].x - p[3].y * p[3].y - p[3].z * p[3].z;
        o[2].o = { b / a,c / a,d / a };
        o[2].r = sqrt((b * b + c * c + d * d - w * a) / (a * a));
        long double ans = get_Ball_area(o[1], o[2]);
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

### 计算体与立方体相部分的体积 要计算体与立方体相部分的体积,可以通过数值积分或解析几何的方法完成。以下是种主要方式: #### 方法一:基于数值积分的近似解 对于复杂的几何形状,尤其是当体和立方体的位置关系复杂时,可以采用数值积分技术来估算它们重叠区域的体积。 假设心位于 $(x_c, y_c, z_c)$,半径为 $r$,而立方体由其最小角点 $(x_{min}, y_{min}, z_{min})$ 和最大角点 $(x_{max}, y_{max}, z_{max})$ 定义,则可以在三维空间中定义一个函数表示该区域内属于交集的部分: $$ f(x, y, z) = \begin{cases} 1 & \text{如果 } (x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 + (z-z_c)^2 \leq r^2 \\ & \quad \text{且 } x_{min} \leq x \leq x_{max},\\ & \quad y_{min} \leq y \leq y_{max},\\ & \quad z_{min} \leq z \leq z_{max}\\ 0 & \text{其他情况} \end{cases} $$ 接着可以用蒙特卡罗方法或其他数值积分手段估计这个三重积分的结果 $\int_V f(x,y,z)dV$, 这里 $V=[x_{min},x_{max}]×[y_{min},y_{max}]×[z_{min},z_{max}]$. 使用随机抽样或者网格划分的方式评估此积分即可获得近似的公共体积[^1]. #### 方法二:精确解析表达式的构建 另一种更理论化但也可能更加困难的办法是尝试推导出确切形式化的数学公式描述这种情形下的体积。这通常涉及分段处理不同相对位置配置的情况,并运用多变量微积分技巧求得最终答案。然而由于实际情况中的多样性(比如偏移量、旋转角度等因素的影响),往往难以得出统一简洁的形式化解决方案[^3]。 下面给出一段Python伪代码用于演示上述提到的第一种思路即通过Monte Carlo模拟来进行粗略估值的过程: ```python import numpy as np def estimate_intersection_volume(sphere_center, sphere_radius, cube_min, cube_max, num_samples=1e7): count_inside = 0 for _ in range(int(num_samples)): point = [ np.random.uniform(cube_min[i], cube_max[i]) for i in range(3) ] distance_squared = sum((point[i]-sphere_center[i])**2 for i in range(3)) if distance_squared <= sphere_radius**2: count_inside +=1 volume_estimate = ((cube_max[0]-cube_min[0]) *(cube_max[1]-cube_min[1]) *(cube_max[2]-cube_min[2])) * (count_inside /num_samples) return volume_estimate # Example usage with a unit radius ball centered at origin and axis-aligned bounding box [-1,+1]^3. print(estimate_intersection_volume([0.,0.,0.],1., [-1,-1,-1],[1,1,1])) ```
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值