【代码随想录day59】【C++复健】 47. 参加科学大会（dijkstra（堆优化版）精讲 ）；94. 城市间货物运输 I

前几天有些事情耽搁了，不过好在图论我完全不会，所以偷看代码思路也没有任何的心理负担，做起来反而相对独立思考更快一点点。

47. 参加科学大会（dijkstra（堆优化版）精讲 ）

本来一开始以为这个堆优化版相对于朴素版就类似于kruskal算法之于prim算法，定睛一看才发现并非如此，区别还是有很多的。

因为是时隔好几天回来写代码，有一种恍若隔世的感觉，甚至有点忘了kruskal/prim以及dijkstra算法都是针对什么问题的，所以就问了一下GPT，没想到还是挺有收获的：

1. 计算目标的不同：

Prim 和 Kruskal：

• 目标：构造一棵 最小生成树 (Minimum Spanning Tree, MST)。
  • 目的在于找到一个无向图中连接所有节点的总权重最小的树。
  • 生成树不关注特定的起点或终点，而是全图的一种全局性质。
  • MST 确保所有节点都被连接且总权重最小，但并不保证某个节点到另一个节点的最短路径。

Dijkstra：

• 目标：计算一个特定起点到图中所有其他节点的 最短路径。
  • 主要用于单源最短路径问题。
  • 仅关注从起点到终点的最短权重和路径，而不会覆盖所有节点。

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2. 输入图类型的不同：

特性	Prim/Kruskal	Dijkstra
图类型	无向图	有向图或无向图均可
边权值特性	权值非负（负权值不影响）	权值必须非负

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3. 使用的算法思想：

Prim：

• 基于 贪心法 构造 MST。
• 从某个节点出发，每次选择权值最小的边扩展树，直到包含所有节点。
• 支持动态增加节点，并使用优先队列进行优化（时间复杂度可以为 O((n+m)log⁡n)O((n + m) \log n)O((n+m)logn)）。

Kruskal：

• 基于 贪心法 和 并查集，构造 MST。
• 将图中的所有边按权值排序，然后从最小权值开始加入树中，同时避免形成环。
• 更适合处理稀疏图，时间复杂度为 O(mlog⁡m)O(m \log m)O(mlogm)，其中 mmm 是边的数量。

Dijkstra：

• 基于 贪心法 和优先队列。
• 从起点出发，每次选择当前路径最短的节点，更新邻接节点的最短距离，直到所有节点的最短距离确定。
• 时间复杂度为 O((n+m)log⁡n)O((n + m) \log n)O((n+m)logn)。

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4. 结果的不同：

Prim 和 Kruskal：

• 输出是一个包含 n−1n-1n−1 条边的 最小生成树。
• 生成树覆盖了所有节点，但并不提供任何节点对之间的最短路径信息。
• 最小生成树 ≠ 最短路径树（MST 不适合直接用于单源最短路径问题）。

Dijkstra：

• 输出是从起点到其他节点的最短路径。
• 生成的树是以起点为根的 最短路径树。
• 最短路径树并不一定是最小生成树，因为两者优化目标不同。

简单来说，kruskal/prim的最终目的是要找一个最小生成树把所有节点都连起来，而dijkstra单纯只是想知道从a到b的最短路径是什么。

那次是很容易想到一个新的问题：最小生成树当中两个节点之间的距离是最短路径吗？

并不是。比如最小生成树当中有可能是a-d，c-d，那我从a到c就是a-d加上c-d的权值，那假设我有一个直接连接a-c的边且权值比a-d加上c-d的权值要小，那最小生成树里的这个权值就不是