动态规划---LCS最长公共子序列

最新推荐文章于 2022-03-28 22:34:58 发布

蓝翳-裂缝中的阳光

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分类专栏：算法导论文章标签：算法动态规划

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本文深入探讨了LCS（最长公共子序列）问题的概念、最优子结构、递归方程，并提供了C++代码实现。重点阐述了如何通过动态规划解决此类经典问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

LCS问题即 longest common subsequence 最长公共子序列问题，也是经典的DP问题。

做这道题目的时候依旧是和做其他DP题目一样，按照步骤，先找到最优子结构，然后确定递归方程，然后就是填表和计算了。

given a sequence X = 〈x₁, x₂, ..., x_m〉, we define the ith prefix of X, for i = 0, 1, ..., m, as X_i = 〈x₁, x₂, ..., x_i〉. For example, if X =〈A, B, C, B, D, A, B〉, then X₄ = 〈A, B, C, B〉 and X₀ is the empty sequence.

上面是定义一个序列的Xi前缀。

下面给出LCS的最优子结构

由此我们也可以得出下面的递归式

其中数组c[i,j]存的就是序列Xi与Yj的LCS长度。根据这个递归式就可以写代码了

#include<iostream>
using namespace std;

void LCS_Length(char *X,int xlen,char *Y,int ylen,int ch[][7])
{
	int i,j;
	for(i = 1; i < xlen; i++)
		ch[i][0] = 0;

	for(j = 0; j < ylen; j++)
		ch[0][j] = 0;

	for(i = 1; i < xlen; i++)
	{
		for(j = 1; j < ylen; j++)
		{
			if(X[i] == Y[j])
				ch[i][j] = ch[i - 1][j - 1] + 1;
			else if(ch[i - 1][j] >= ch[i][j - 1])
				ch[i][j] = ch[i - 1][j];
			else
				ch[i][j] = ch[i][j - 1];
		}
	}
}


void Print_LCS(char *X,int ch[][7],int i,int j)
{
	if(i == 0 || j == 0)
		return;
	if(ch[i][j] == (ch[i - 1][j - 1] + 1))
	{
		Print_LCS(X,ch,i-1,j-1);
		cout<<X[i]<<"  ";
	}
	else if(ch[i][j] == ch[i - 1][j])
		Print_LCS(X,ch,i-1,j);
	else
		Print_LCS(X,ch,i,j-1);
}


int main()
{
	char X[] = {'#','B','D','C','B','D','A','B'};
	char Y[] = {'#','B','D','C','A','B','A'};
	int ch[8][7];
	LCS_Length(X,8,Y,7,ch);
	Print_LCS(X,ch,7,6);

	return 0;
}