有权图的单源最短路算法（Dijkstra算法）

图系列专题：

图的深搜，宽搜，判断有向无环图：

• 图的深搜，宽搜，拓扑排序：图的遍历(DFS，BFS，Topology Sort)；

图最短路问题：

• 单源最短路所有边权为正：Dijkstra：正边权单源最短路算法；
• 单源最短路存在负权边：Bellman_Ford和SPFA：带负边权的单源最短路算法；
• 多源汇最短路：Floyd算法：多源汇最短路；

yxc路的最短路相关算法对应场景图：

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基本原理

1. 令S = { 源点s + 已经确定了最短路径的顶点 V_i };
2. 对任一未收录的顶点 V ,定义 dist[ t ] 为 S 到 V 的最短路径长度，但该路径仅经过 S 中的顶点。即路径 { S -> (V_i∈S) -> V }的最小长度；
3. 若路径是按照递增（非递减）顺序生成，则（限定了不能够解决有负边的情况）
   1）真正的最短路径必须只经过S中的顶点；
   2）每次从未收录的顶点中选一个dist最小的点收录（贪心的思想）；
   3）增加一个V进入S，可能影响另一个W（V的邻接点/V和W之间可直接连接），需要对距离dist[ ]和路径path[ ]进行更新：dist[W] = min{dist[W], dist[V] + E_<v,w>},也称为松弛操作。

简单而言：

将图上的初始点看作一个集合S，其它点看作另一个集合
根据初始点，求出其它点到初始点的距离dist[i] （若相邻，则d[i]为边权值；若不相邻，则dist[i]为无限大）
选取最小的dist[i]（记为dist[V]），并将此dist[i]边对应的点（记为V）加入集合S
再根据V，更新跟 V 相邻点 W 的d[W]值：dist[W] = min{dist[W], dist[V] + 边权值weight[V][W] }，因为可能把距离调小，所以这个更新操作叫做松弛操作。
重复3，4两步，直到目标点也加入了集合，此时目标点所对应的dist[i]即为最短路径长度。

代码实现及时间复杂度：

/* 邻接矩阵存储 - 有权图的单源最短路算法 */
 
Vertex FindMinDist( MGraph Graph, int dist[], int collected[] )
{ /* 返回未被收录顶点中dist最小者 */
    Vertex MinV, V;
    int MinDist = INFINITY;
 
    for (V=0; V<Graph->Nv; V++) {
        if ( collected[V]==false && dist[V]<MinDist) {
            /* 若V未被收录，且dist[V]更小 */
            MinDist = dist[V]; /* 更新最小距离 */
            MinV = V; /* 更新对应顶点 */
        }
    }
    if (MinDist < INFINITY) /* 若找到最小dist */
        return MinV; /* 返回对应的顶点下标 */
    else return ERROR;  /* 若这样的顶点不存在，返回错误标记 */
}
 
bool Dijkstra( MGraph Graph, int dist[], int path[], Vertex S )
{
    int collected[MaxVertexNum];
    Vertex V, W;
 
    /* 初始化：此处默认邻接矩阵中不存在的边用INFINITY表示 */
    for ( V=0; V<Graph->Nv; V++ ) {
        dist[V] = Graph->G[S][V];
        if ( dist[V]<INFINITY )
            path[V] = S;
        else
            path[V] = -1;
        collected[V] = false;
    }
    /* 先将起点收入集合 */
    dist[S] = 0;
    collected[S] = true;
 
    while (1) {
        /* V = 未被收录顶点中dist最小者 */
        V = FindMinDist( Graph, dist, collected );
        if ( V==ERROR ) /* 若这样的V不存在 */
            break;      /* 算法结束 */
        collected[V] = true;  /* 收录V */
        for( W=0; W<Graph->Nv; W++ ) /* 对图中的每个顶点W */
            /* 若W是V的邻接点并且未被收录 */
            if ( collected[W]==false && Graph->G[V][W]<INFINITY ) {
                if ( Graph->G[V][W]<0 ) /* 若有负边 */
                    return false; /* 不能正确解决，返回错误标记 */
                /* 若收录V使得dist[W]变小 */
                if ( dist[V]+Graph->G[V][W] < dist[W] ) {
                    dist[W] = dist[V]+Graph->G[V][W]; /* 更新dist[W] */
                    path[W] = V; /* 更新S到W的路径 */
                }
            }
    } /* while结束*/
    return true; /* 算法执行完毕，返回正确标记 */

为何不能解决存在负边的情况：

如基本原理中简而言之中的内容:

在第3步中，若点 V 的 d[V] 值是最小的，就将此点加入集合，而这个 d[V] 便也就是 V 到初始点的最短距离了。所以d[V]的确定尤其重要，而第3、4步中，d[W] 是根据已经处于集合中的点来更新的。

如果是正权图，集合内的点到初始点的最短距离已经确认了，把没在集合内的点加入路径只可能会增加无用的边，也就增加了路径长度；所以只根据集合内点的邻边来更新，就能得到当前的最小d[V]了。

如果是负权图，注意上句话中的文字 “把没在集合内的点加入路径”，这个时候，如果边的长度是负的，就有可能产生更小的d[W],而Dijkstra根本没有不会考虑 “把没在集合内的点加入路径”这种情况。

这里有一个简单的例子（比较特殊）：

从A到B的最短路。
用Dijkstra算法，第一步就能得到所谓的最短路径长度4，不会去考虑边(C,B)。
而实际上最短路径却需要加入边(C, B)，长度是2。

更普适一些：dijkstra用了贪心的思想，每次选取的是当前最短的边进行松弛，当边都是正权时，松弛后边权一定比当前最短边大，所以满足贪心的条件，有了负边后不满足贪心的条件所以不能用dijkstra计算带有负边的单源最短路。