​流水线作业调度问题的Johnson算法思想

问题背景

流水线作业调度问题​（Flow Shop Scheduling Problem）是指多个作业需在多台机器上按固定顺序加工，目标是确定作业的加工顺序，使得所有作业的总完成时间（makespan）​最小。Johnson算法是解决两机器流水车间调度问题​（即所有作业需先经过机器1，再经过机器2）的经典方法。

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​Johnson算法的核心思想

Johnson算法通过动态排序作业，使得机器2的空闲时间尽可能减少，从而最小化总完成时间。其核心逻辑是：
将作业分为两类，按不同规则排序后合并，以平衡两台机器的负载。​

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​Johnson算法的步骤

1. ​分类作业：
   将作业分为两类：

   • ​类别A：作业在机器1上的加工时间 ≤ 机器2上的加工时间（即 aj​≤bj​）。
   • ​类别B：作业在机器1上的加工时间 > 机器2上的加工时间（即 aj​>bj​）。

2. ​排序规则：

   • ​类别A的作业：按机器1的加工时间 aj​ ​升序排列​（即从短到长）。
   • ​类别B的作业：按机器2的加工时间 bj​ ​降序排列​（即从长到短）。

3. ​合并序列：
   将排序后的类别A放在类别B之前，形成最终加工顺序。

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​算法思想的直观解释

1. ​减少机器2的等待时间：

   • 类别A的作业（aj​≤bj​）在机器1上加工时间短，尽早完成机器1的加工后，机器2可以尽快开始工作。
   • 类别B的作业（aj​>bj​）在机器2上加工时间长，将其排在后面，避免机器2因长时间等待而产生空闲。

2. ​平衡两台机器的负载：

   • 优先加工机器1时间短的作业（类别A），让机器2尽早启动。
   • 后加工机器2时间长的作业（类别B），避免机器2因前序作业过长而空闲。

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​示例说明

假设有4个作业，加工时间如下：

作业	机器1时间 aj​	机器2时间 bj​
J1	5	2
J2	1	6
J3	8	4
J4	3	7

1. ​分类：

   • ​类别A​（aj​≤bj​）：J2（1 ≤ 6）、J4（3 ≤ 7）。
   • ​类别B​（aj​>bj​）：J1（5 > 2）、J3（8 > 4）。

2. ​排序：

   • 类别A按 aj​ 升序：J2 → J4。
   • 类别B按 bj​ 降序：J3（bj​=4）→ J1（bj​=2）。

3. ​合并序列：J2 → J4 → J3 → J1。

4. ​计算总完成时间：

   • 机器1：J2（1）→ J4（3）→ J3（8）→ J1（5）。总时间 = 1 + 3 + 8 + 5 = 17。
   • 机器2：需等待机器1完成J2后开始，总时间需考虑流水衔接，最终makespan为20​（优于其他顺序）。

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​Johnson算法的适用条件

1. ​仅适用于两机器流水车间问题，多机器问题需其他方法（如启发式算法）。
2. 所有作业的加工顺序必须一致（即先机器1，后机器2）。
3. 允许作业在两台机器上的加工时间不同，但顺序固定。

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​总结

Johnson算法的核心是通过分类排序平衡两台机器的负载：

• 优先处理机器1时间短的作业，让机器2尽早启动。
• 后处理机器2时间长的作业，减少机器2的空闲等待。
  这一策略保证了总完成时间的最小化，是两机器流水车间调度问题的最优解方法。