力扣刷题日记

给定两个整数 a 和 b ，求它们的除法的商 a/b ，要求不得使用乘号 ‘*’、除号 ‘/’ 以及求余符号 ‘%’ 。

注意：

• 整数除法的结果应当截去（truncate）其小数部分，例如：truncate(8.345) = 8 以及 truncate(-2.7335) = -2
• 假设我们的环境只能存储 32 位有符号整数，其数值范围是 [−2³¹, 2³¹−1]。本题中，如果除法结果溢出，则返回 2³¹ − 1

示例 1：
输入：a = 15, b = 2
输出：7
解释：15/2 = truncate(7.5) = 7

示例 2：
输入：a = 7, b = -3
输出：-2
解释：7/-3 = truncate(-2.33333…) = -2

示例 3：
输入：a = 0, b = 1
输出：0

示例 4：
输入：a = 1, b = 1
输出：1

提示:

• -2³¹<= a, b <= 2³¹ - 1
• b != 0

思路1

利用减法做除法，举个简单的例子，设 a = 9, b = 2。（更复杂的还需要考虑正负以及越界，这里不做详细考虑）

int time = 0;
while(a > b){
	time++;
	a -= b;
}
return time;

但是当 b = 1 时，算法复杂度最大，为O(n)。可以对该方法进行改进。

思路2

改进：减去除数从倍数。当被除数大于除数时，判断是不是大于除数的 2 倍、 4 倍、…、n 倍。如果被除数大于除数的 n 倍但小于 n + 1 倍，那么将被除数减去除数的 n 倍后，重复上述步骤。

举个简单的例子，如 a = 21, b = 2，a 大于 b 的 8 倍但小于 b 的 16 倍，a = a - 2 * 8 = 5； ret += 8。然后继续进行判断，此时a = 5, b = 2，a 大于 b 的 2 倍但小于 b 的 3 倍，a = a - 2 * 2 = 1； ret += 2。此时，a = 1 < b = 2，判断结束，最后输出结尾为 ret = 10。如果采用思路1，则需要循环10次，而思路2只需要循环2次。

时间复杂度：O(logn)；空间复杂度O(1)。

下面给出考虑正负及越界的C++代码：

class Solution {
public:
    int divide(int a, int b) {
    	if(a == INT_MIN && b == -1)
    		return INT_MAX;
    	int neg = 2;
    	//将 a b 都转化为负数进行计算
    	if(a > 0){
    		neg--;
    		a = -a;
    	}
    	if(b > 0){
			neg--;
			b = -b;
		}
		unsigned int ret = divideAlgorithm(a, b);
		return neg == 1 ? - ret : ret;
    }
    
	unsigned int divideAlgorithm(int a, int b){
		unsigned int ret = 0;
		//此时 a b 都是负数，a <= b 表示 a 能够继续除以 b
		while(a <= b){
			int value = b;
			unsigned int mid = 1;
			while(value >= 0xc0000000 && a <= value + value){
				// 0xc000000 是 -2^30 的十六进制表示
				// 判断 value >= 0xc000000 的原因， 保证 a <= value + value 不会越界
				mid += mid;
				value += value;
			}
			ret += mid;
			a -= value;
		}
		return ret;
	}
}

思路3

利用位运算，即左移和右移。（左移（符号为： <<）相当于乘以2，右移（符号为： >>）相当于除以2）

时间复杂度：O(1)；空间复杂度：O(1)。

C++代码如下：

class Solution {
public:
    int divide(int a, int b) {
    	if(a == INT_MIN && b == -1)
    		return INT_MAX;
    	int neg = (a < 0) ^ (b < 0) ? -1 : 1; // a b 同时小于0或大于0,符号为正;反之则为负
    	unsigned int uia = abs(a); // 负数左移或右移相对麻烦, 因此先将 a b 转为正数
    	unsigned int uib = abs(b);
    	unsigned int ret = 0; // 使用unsigned int 是为了防止 a = INT_MIN, b = 1 的情况下出现越界问题
    	for(int i = 31; i >= 0; --i){
    		if((uia >> i) >= uib){
    			uia -= uib << i;
    			ret += 1 << i;
    		}
    	}
    	return neg == -1 ? - ret : ret;
    }
};