Prim算法+Kruskal算法

最新推荐文章于 2021-12-27 15:21:34 发布

yskyj

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本文详细介绍了两种用于寻找图的最小生成树的经典算法——Prim算法与Kruskal算法。Prim算法通过迭代选择与当前生成树连接且权重最小的边来逐步构建最小生成树。Kruskal算法则按边的权重从小到大排序，依次添加不会形成环的边。文中还提供了两种算法的具体实现代码。

转自：http://www.cnblogs.com/Veegin/archive/2011/04/29/2032388.html

http://www.cnblogs.com/Veegin/archive/2011/04/29/2032423.html

Prim算法：

今天从志权师兄那里学会了最小生成树。所谓生成树，就是n个点之间连成n-1条边的图形。而最小生成树，就是权值（两点间直线的值）之和的最小值。

首先，要用二维数组记录点和权值。如上图所示无向图：

int map[7][7];
       map[1][2]=map[2][1]=4;
       map[1][3]=map[3][1]=2;
       ......

然后再求最小生成树。具体方法是：

1.先选取一个点作起始点，然后选择它邻近的权值最小的点（如果有多个与其相连的相同最小权值的点，随便选取一个）。如1作为起点。

visited[1]=1;

pos=1;

//用low[]数组不断刷新最小权值，low[i](0<i<=点数)的值为：i点到邻近点（未被标记）的最小距离。

low[1]=0; //起始点i到邻近点的最小距离为0

low[2]=map[pos][2]=4;

low[3]=map[pos][3]=2;

low[4]==map[pos][4]=3;

low[5]=map[pos][5]=MaxInt; //无法直达

low[6]=map[pos][6]=MaxInt;

2.再在伸延的点找与它邻近的两者权值最小的点。

//low[]以3作当前位置进行更新

visited[3]=1;

pos=3;

low[1]=0; //已标记，不更新

low[2]=map[1][2]=4; //比5小，不更新

low[3]=2; //已标记，不更新

low[4]=map[1][4]=3; //比1大，更新后为：low[4]=map[3][4]=1;

low[5]=map[1][5]=MaxInt;//无法直达，不更新

low[6]=map[1][6]=MaxInt;//比2大，更新后为：low[6]=map[3][6]=2;

3.如此类推...

当所有点都连同后，结果最生成树如上图所示。

所有权值相加就是最小生成树，其值为2+1+2+4+3=12。

代码如下：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MaxInt 0x3f3f3f3f
#define N 110
//创建map二维数组储存图表，low数组记录每2个点间最小权值，visited数组标记某点是否已访问
int map[N][N],low[N],visited[N];
int n;
 
int prim()
{
    int i,j,pos,min,result=0;
    memset(visited,0,sizeof(visited));
//从某点开始，分别标记和记录该点
    visited[1]=1;pos=1;
//第一次给low数组赋值
    for(i=1;i<=n;i++)
        if(i!=pos) low[i]=map[pos][i];
//再运行n-1次
    for(i=1;i<n;i++)
    {
//找出最小权值并记录位置
     min=MaxInt;
     for(j=1;j<=n;j++)
         if(visited[j]==0&&min>low[j])
         {
             min=low[j];pos=j;
         }
//最小权值累加
    result+=min;
//标记该点
    visited[pos]=1;
//更新权值
    for(j=1;j<=n;j++)
        if(visited[j]==0&&low[j]>map[pos][j])
            low[j]=map[pos][j];
    }
    return result;
}
 
int main()
{
    int i,v,j,ans;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
//所有权值初始化为最大
        memset(map,MaxInt,sizeof(map));
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=1;j<=n;j++)
            {
                scanf("%d",&v);
                map[i][j]=map[i][j]=v;
            }
            ans=prim();
            printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

Kruskal算法：

对于稀疏图来说，用Kruskal写最小生成树效率更好，加上并查集，可对其进行优化。

Kruskal算法的步骤：

1.对所有边进行从小到大的排序。

2.每次选一条边（最小的边），如果如果形成环，就不加入(u,v)中，否则加入。那么加入的(u,v)一定是最佳的。

并查集：
我们可以把每个连通分量看成一个集合，该集合包含了连通分量的所有点。而具体的连通方式无关紧要，好比集合中的元素没有先后顺序之分，只有“属于”与“不属于”的区别。图的所有连通分量可以用若干个不相交集合来表示。

而并查集的精妙之处在于用数来表示集合。如果把x的父结点保存在p[x]中(如果没有父亲，p[x]=x)，则不难写出结点x所在树的递归程序：

find(int x) {return p[x]==x?x:p[x]=find(p[x]);}

意思是，如果p[x]=x，说明x本身就是树根，因此返回x；否则返回x的父亲p[x]所在树的根结点。

既然每棵树表示的只是一个集合，因此树的形态是无关紧要的，并不需要在“查找”操作之后保持树的形态不变，只要顺便把遍历过的结点都改成树根的儿子，下次查找就会快很多了。如下图所示：

设第i条边的端点序号和权值分别保存在u[i],v[i],w[i]中，而排序后第i小的边保存在r[i]中。(间接排序是指排序的关键字是对象的代号，而不是对象本身。)

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#define N 150
using namespace std;
int m,n,u[N],v[N],w[N],p[N],r[N];
int cmp(const int i,const int j) {return w[i]<w[j];}
int find(int x) {return p[x]==x?x:p[x]=find(p[x]);}
int kruskal()
{
    int cou=0,x,y,i,ans=0;
    for(i=0;i<n;i++) p[i]=i;
    for(i=0;i<m;i++) r[i]=i;
    sort(r,r+m,cmp);
    for(i=0;i<m;i++)
    {
        int e=r[i];x=find(u[e]);y=find(v[e]);
        if(x!=y) {ans += w[e];p[x]=y;cou++;}
    }
    if(cou<n-1) ans=0;
    return ans;
}
 
int main()
{
    int i,ans;
    while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF&&m)
    {
        for(i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&u[i],&v[i],&w[i]);
        }
        ans=kruskal();
        if(ans) printf("%d\n",ans);
        else printf("?\n",ans);
    }
    return 0;
}