Kattis：K-Inversions

最新推荐文章于 2024-12-15 11:17:48 发布

your_own_name

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分类专栏：数论文章标签： fft

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探讨了如何通过快速傅立叶变换（FFT）解决 K-Inversions 问题，该问题要求找出字符串中特定形式的倒置对数量。文章提供了一种创新的方法，将问题转化为多项式乘法，并给出了具体的实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

K-Inversions

Problem Description

You are given a string s consisting only of upper case letters A and B. For an integer k, a pair of indices i and j (1 ≤ i < j ≤ n) is called a k-inversion if and only if s[i] = B, s[j] = A and j − i = k.
 
Consider the string BABA. It has two 1-inversions and one 3-inversion. It has no 2-inversions.

For each k between 1 and n − 1 (inclusive), print the number of k-inversions in the string s.

Input


    
    
     
     Each input will consist of a single test case. Note that your program may be run multiple times on 
     
     different inputs. The input will consist of a single line with a string s, which consists of only upper 
     
     case As and Bs. The string s will be between 1 and 1,000,000 characters long. There will be no 
     
     spaces

Output


    
    
     
     Output n − 1 lines, each with a single integer. The ﬁrst line’s integer should be the number of 
     
     1-inversions, the second should be the number of 2-inversions, and so on.

SampleInput

BABA

Sample Output

2
0
1

来自kattis可以交题

Solve:

这个题就是求对于每个x，有多少AB之间相差x(A 在 B后面)

暴力的话，可以枚举每一个A和每一个B，求两者之间的距离为x，ans[x]++，但是这样肯定会超时的

那么想想多项式乘法，假如有两个多项式，那么他们的每一项系数都要互相乘，相乘时候具有相同的指数的系数加起来，那么他们的指数也是相加的

而这个题，把每个A的下标看成第一个式子的指数，系数都为1，B的下标看成第二个式子的指数，系数为1，那么这里是，指数相减之后相同的系数相乘求和

醉了，描述不清

那么我已经有了一个串比如BABA，定义两个数组

那么从左向右,如果扫到了A那么第一个数组相应的值为1

如果扫到了B，那么第二个数组倒着相应的值为0

所以第一个数组为0101

第二个数组为0101，把这两个串看成十进制的数字

那么这样的话，如果某个B出现在i位置上，A出现在j位置上,那么这两个位置对应的数组表示分别为1*10ⁱ,1*10^n-j-1，那么这两位相乘之后得到的值为10^n-j-1+i =10^x,那么j-i=x+1-n也就是j和i之间相差几个，那么两个数字相乘就得到了所有的x

其中因为求的是相差1~n的有几个，所以1<=x-1+n<=n ===> 0<=x<=n-2

所以应该输出最低位的n-1个,就是答案的(n~2n-1)位

所以就用FFT。。。。。。。

代码：

//https://open.kattis.com/problems/kinversions.cpp
#include 
   
   
    
    
using namespace std;

#define sz(v) ((int)(v).size())
#define all(v) (v).begin(),(v).end()
typedef complex
    
    
     
      base;

void fft(vector 
     
      &a, bool invert)
{
    int n = a.size();
    for (int i=1,j=0; i
     
     
      
      > 1;
        for (; j>=bit; bit>>=1) j -= bit;
        j += bit;
        if (i < j) swap(a[i],a[j]);
    }
    for (int len=2; len<=n; len<<=1)
    {
        double ang = 2*M_PI/len*(invert?-1:1);
        base wlen(cos(ang),sin(ang));
        for (int i=0; i
      
      
       
        &a,const vector
       
       
         &b,vector 
        
          &res) { vector 
          fa(a.begin(),a.end()), fb(b.begin(),b.end()); int n = 1; while (n < max(a.size(),b.size())) n <<= 1; n <<= 1; fa.resize(n); fb.resize(n); fft(fa,false); fft(fb,false); for (int i=0; i 
         
           0?0.5:-0.5)); } char t[1000001]; int main() { // freopen("in.txt","r",stdin); vector 
          
            a, b, r; int i, n; scanf("%s", t); for (n = 0; t[n]; n++); a.resize(n); b.resize(n); for (i = 0; i < n; i++) { if (t[i] == 'A') a[i] = 1; else b[n - i - 1] = 1; } multiply(a, b, r); for (i = 0; i < n * 2 - 1; i++) printf("%d\n", r[i]); }