矩阵最小路径和

/************************************************************
 *description:求矩阵的最小路径和
 *            从矩阵左上角出发,每次只能向下或向右走,
 *            到达右下角的所有路径上所有数字之和的最小值。
 ***********************************************************/

//动态规划。时间复杂度O(M*N),空间复杂度O(M*N)
//建立一个和矩阵m相同大小的矩阵tmp。tmp[i][j]表示走到i,j元素处的最小路径和。
//对于第一行来说,tmp[0][j]=tmp[0][j-1]+m[0][j];第一列tmp[i][0]=tmp[i-1][0]+m[i][0]
//除第一行和第一列之外,tmp[i][j]=min(tmp[i][j - 1], tmp[i - 1][j]) + m[i][j]
//tmp的最右下角元素即为所求。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int minPathSum(const vector<vector<int>> m)
{
    vector<vector<int>> tmp(m.size(), vector<int>(m[0].size(), 0));
    tmp[0][0] = m[0][0];
    for (int i = 1; i < m.size(); i++)
        tmp[i][0] = m[i][0] + tmp[i - 1][0];
    for (int i = 1; i < m[0].size(); i++)
        tmp[0][i] = m[0][i] + tmp[0][i - 1];

    for (int i = 1; i < m.size(); i++)
    {
        for (int j = 1; j < m[0].size(); j++)
        {
            tmp[i][j] = min(tmp[i][j - 1], tmp[i - 1][j]) + m[i][j];
        }
    }
    return tmp[m.size() - 1][m[0].size() - 1];
}
int main()
{
    vector<vector<int>> m;
    vector<int> row1;
    row1.push_back(1);row1.push_back(3);row1.push_back(5);row1.push_back(9);m.push_back(row1);
    vector<int> row2;
    row2.push_back(8);row2.push_back(1);row2.push_back(3);row2.push_back(4);m.push_back(row2);
    vector<int> row3;
    row3.push_back(5);row3.push_back(0);row3.push_back(6);row3.push_back(1);m.push_back(row3);
    vector<int> row4;
    row4.push_back(8);row4.push_back(8);row4.push_back(4);row4.push_back(0);m.push_back(row4);
    cout << minPathSum(m);
    return 0;
}
//本题的时间复杂度还可以压缩为O(min(M,N))。按照每一行或者一列进行滚动求取下一行或列的值即可。如果M>N,以行滚动;反之列。

### 寻找矩阵最小路径问题的递归解法 对于给定的一个 m×n 的网格 `grid`,目标是从左上角走到右下角,并使所经过路径上的数值总最小。每次移动只能向下或向右。 #### 递归方法解析 为了计算从起点到终点的最短路径,在任意位置 `(i,j)` 处的最优解等于当前位置的值加上其下方 `(i+1,j)` 或右侧 `(i,j+1)` 中较小的那个位置的最佳路径[^1]: ```c #include <limits.h> #include <stdio.h> int minPathSumUtil(int grid[][3], int row, int col, int m, int n); // 辅助函数用于返回两个整数之间的最小值 int min(int x, int y) { return (x < y)? x : y; } // 主要功能:求取从(0,0)到达(m-1,n-1)处的最小路径 int minPathSum(int grid[][3], int m, int n){ // 调用辅助函数并传入初始坐标以及行列大小参数 return minPathSumUtil(grid, 0, 0, m, n); } // 实际执行递归逻辑的功能定义 int minPathSumUtil(int grid[][3], int row, int col, int m, int n){ // 如果越界则返回极大值表示不可达 if(row >= m || col >= n) return INT_MAX; // 当前格子就是目的地时直接返回该格子内的权值 if(row==m-1 && col==n-1) return grid[row][col]; // 否则选择下一步往右边走还是往下边走更优的结果再加上当前节点权重作为最终结果返回 return grid[row][col] + min(minPathSumUtil(grid, row+1, col, m, n), minPathSumUtil(grid, row, col+1, m, n)); } ``` 此代码片段展示了如何通过递归来解决这个问题。然而需要注意的是这种方法存在大量的重复计算,因此效率较低。可以考虑采用记忆化技术来优化性能,即将已经计算过的中间状态保存起来以便后续重用[^2]。
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