15、正切换系统的动态规划与最优治疗调度

正切换系统的动态规划与最优治疗调度

1. 连续时间模型与成本函数

在处理病毒突变的连续时间模型中，成本函数 $J(tf)$ 可表示为：
$J(tf ) = c′e^{A_1\sum_{i = 1}^{N_f} \Delta\tau_i+A_2\sum_{j = 2}^{N_f} \Delta\tau_j} x(0)$，其中 $i$ 为偶数，$j$ 为奇数。若使用系统拓扑 $\Delta A = A_1 - A_2$，则 $J(tf)$ 可重新整理为 $J(tf ) = c′e^{\Delta A\sum_{j = 2}^{N_f} \Delta\tau_j} x(tf )_{\sigma=1}$。

为找到使成本函数最小化的 $T_2 = \sum_{j = 2}^{N_f} \Delta\tau_j$，对 $J(tf)$ 关于 $T_2$ 求一阶导数：
$\frac{dJ(tf)}{dT_2} = c′\Delta Ae^{\Delta AT_2}x_1(tf)$
求解可得：
$T_2 = \frac{1}{2(\lambda_{21} - \lambda_{22})} \ln \frac{x_3(tf ) {\sigma=1}}{x_2(tf ) {\sigma=1}}$

在系统 (7.2) 中，为最小化成本函数 $J(tf)$，需在周期 $T_2$ 内使用 $\sigma = 2$。该解并非唯一，在对称初始条件下，满足假设 8.2 和 8.3 时，滑模控制 $u_1(t) = \alpha$ 也是最优的。对于 $\mu \neq 0$ 的情况，需使用非线性优化进行数值求解，但由于问题是非凸的，数值求解较为复杂。 <