36、二次互反律：理论、证明与应用

二次互反律：理论、证明与应用

1. 引言

在数论领域，二次互反律是一个核心且迷人的定理。它探讨了两个不同奇素数之间的二次剩余关系，为解决众多数论问题提供了强大工具。本文将深入探讨二次互反律的相关内容，包括其起源、证明方法、应用以及相关练习的解析。

2. 二次互反律概述

2.1 问题提出

给定两个不同的奇素数 (p) 和 (q)，若我们知道 (q) 是否为 (p) 的二次剩余，那么 (p) 是否为 (q) 的二次剩余呢？这个问题在 18 世纪中叶被欧拉发现，并由勒让德在 1785 年以现代优雅的形式重新表述，形成了二次互反律。

2.2 定理表述

二次互反律有两种等价形式：
- 定理 12.7 ：设 (p) 和 (q) 是不同的奇素数，则 (\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1)^{\frac{p - 1}{2}\cdot\frac{q - 1}{2}})。
- 定理 12.8 ：设 (p) 是奇素数，(a) 是不被 (p) 整除的整数。若 (q) 是素数且 (p\equiv\pm q\pmod{4a})，则 (\left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{a}{q}\right))。

2.3 定理证明历程

勒让德曾发表过该定理的多个证明，但都存在严重漏洞。高斯在 18 岁时重新发现了这个结果，并在 1796 年给出了第一个正确证明。此后，他又找到了至少六种不同的证明方法，其目标是