11、素数分布的奥秘与猜想

素数分布的奥秘与猜想

1. 素数数量的估计

我们知道素数有无穷多个，但如何估计小于一个正实数 (x) 的素数个数呢？这就引出了著名的素数定理。18 世纪末，数学家们通过手工计算创建素数表，试图寻找能估计 (\pi(x))（小于 (x) 的素数个数）的函数。

• 勒让德的发现 ：1798 年，法国数学家阿德里安 - 马里·勒让德（Adrien - Marie Legendre）利用斯洛文尼亚数学家尤利伊·维加（Jurij Vega）计算的到 400,031 的素数表，指出 (\pi(x)) 可以用函数 (\frac{x}{\log x - 1.08366}) 来近似。
• 高斯的猜想 ：伟大的德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Karl Friedrich Gauss）猜想 (\pi(x)) 的增长速度与函数 (\frac{x}{\log x}) 和 (Li(x) = \int_{2}^{x} \frac{dt}{\log t}) 相同。这里 (Li(x)) 表示曲线 (y = \frac{1}{\log t}) 下方、(t) 轴上方从 (t = 2) 到 (t = x) 的面积，(Li) 是对数积分的缩写。

然而，勒让德和高斯都未能证明这些函数在 (x) 很大时能很好地近似 (\pi(x))。直到 1850 年，俄罗斯数学家帕夫努季·利沃维奇·切比雪夫（Pafnuty Lvovich Chebyshev）取得了实质性进展。他证明了存在正实数 (C_1) 和 (C_2)（(C_1 < 1 < C_2)），使得对于足够大的 (x)，有 (C_1(\frac