13、三角瓦片自组装系统与随机自组装矩形纳米结构研究

三角瓦片自组装系统与随机自组装矩形纳米结构研究

1. 三角瓦片自组装系统的形状复杂性与计算复杂性

在三角瓦片自组装系统（TAS）中，存在一些有趣的性质。例如，存在一种扁平的等边三角形TAS，它即使在仿射变换下也不能由任何方形TAS产生。这表明方形TAS和三角形TAS在形状复杂性上是不可比较的。

在计算复杂性方面，Wang瓦片系统的一些问题已经被深入研究。其中，平铺问题询问给定一个Wang瓦片系统，能否决定它是否可以平铺整个平面。通过用Wang瓦片系统模拟图灵机，并将停机问题归约到平铺问题，证明了该问题是不可判定的。

对于确定性方形TAS，判断其是否能平铺整个平面是不可判定的。同样，对于确定性直角三角形TAS，也可以证明判断其是否能平铺整个平面是不可判定的。证明思路是将方形瓦片系统S中的每个方形瓦片按特定方式分割成两个直角三角形瓦片，使得合作的两条边在同一个三角形瓦片中，并且通过使每个对角线边缘的胶水对被分割的方形瓦片唯一，得到的直角三角形TAS是确定性的，其瓦片类型最多是S的两倍。

然而，这种证明技术对于等边三角形系统不再适用。但基于Robinson的设计原则，可以构造一个确定性等边三角形TAS来模拟图灵机M在输入a₁a₂···aₙ上的计算，其瓦片数量最多为2n + 5 + 4|Σ| + 2|δ| + 3|Q||Σ|。

下面是相关定理总结：
|定理|内容|
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|定理6|方形TAS和三角形TAS在形状复杂性上不可比较|
|定理7|判断给定的确定性直角三角形TAS是否能平铺整个平面是不可判定的|
|定理8|对于任何图灵机M，存在一个温度τ ≥ 2的确定性等边三角形T