34、单词方程解集与子词普遍性研究

单词方程解集与子词普遍性研究

在语言和逻辑的研究领域中，单词方程的解集以及子词的普遍性是两个重要的研究方向。下面我们将深入探讨这两个方面的相关内容。

单词方程解集

在单词方程的研究里，有一些重要的结论和定理。之前的证明表明，每个完整系统 Eq(h) 都等价于一个不平衡方程。而对于每个具有非周期解 h 的不平衡方程 E，根据引理 12，它等价于 Eq(h)。

Hmelevskii 曾证明，每个三变量方程都有参数解。不过，我们找到的完整系统的表示要比 Hmelevskii 定理所保证的表示简单得多。具体来说，已知三变量方程参数解中数值参数数量的最佳上界与方程长度呈对数关系，而我们之前找到的公式最多使用一个数值参数（若要表示周期解，则需要两个数值参数）。

我们期望对平衡的三变量方程也能证明类似的结果，下面的定理为这一目标指明了方向。

定理 21 ：设 E 是一个三变量方程，H 是所有从 {X, Y, Z}∗ 到 Σ∗ 的态射等价类的代表集。那么 Sol(E) = ⋃{h∈Sol(E)∩H} Sol(Eq(h))。

证明过程 ：
- 对于任意 g ∈ Sol(E)，它等价于某个 h ∈ H，此时 h ∈ Sol(E) ∩ H，并且 g ∈ Sol(Eq(g)) = Sol(Eq(h))。
- 另一方面，如果对于某个 h ∈ Sol(E) ∩ H 有 f ∈ Sol(Eq(h))，那么 E ∈ Eq(h)，所以 f ∈ Sol(Eq(h)) ⊆ Sol(E)。

如果集合 Sol(E) ∩ H 是有限的，结合之前的结果