32、自动性与帕里克共线态射相关研究及字方程解集探讨

自动性与帕里克共线态射相关研究及字方程解集探讨

自动性与帕里克共线态射

在自动性与帕里克共线态射的研究中，我们先来看一些重要的引理和命题。

引理 14 ：对于所有 (n \geq 0)，有 (aw(2n + 1) \leq 4) 且 (aw(2n) = 3)。更精确地说，对于 (L(w)) 中的因子 (x)，有 (\lfloor|x|/2\rfloor - 1 \leq |x|_0 \leq \lceil|x|/2\rceil + 1)。
证明过程如下：
- 对于长度至多为 4 的因子，该结论可直接验证。
- 对于长度 (n \geq 5) 的因子 (x)，可写成 (x = sf(u)p)，其中 (s) 是某个字母像的真后缀，(p) 是某个字母像的真前缀。注意到 (|f(u)|_0 = |f(u)|/2)，所以 (|x|_0 = (|x| - |ps|)/2 + |ps|_0)。由于 (|f(u)|) 为偶数，(|ps|) 和 (|x|) 具有相同的奇偶性。通过分别检查 (p) 和 (s) 的所有组合（总长度为奇数和偶数的情况），可得到更精确的结论。
- 为了说明 (aw(2n) = 3)，如本节开头所述，0 的数量的三个值 (n) 和 (n \pm 1) 都能取到。

引理 15 ：(w) 的阿贝尔复杂度函数满足以下条件：
1. 对于所有 (n \geq 0)，有 (aw(5n) = aw(n))。
2. 对于每个 (j \in {1, 2, 3, 4}) 和所有 (n \geq 1)，有 (aw(5n + j) \geq 3)。
证明