ABC385F题解

原题

AT_abc385_f [ABC385F] Visible Buildings

题目描述

在数轴上有编号从 $1$ 到 $N$ 的建筑物。第 $i$ 个建筑物位于坐标 $X_i$ 处，高度为 $H_i$。除了高度外的其他方向的尺寸可以忽略不计。

从坐标为 $x$ 且高度为 $h$ 的点 $P$ 看，如果存在建筑物 $i$ 上的某个点 $Q$，使得线段 $PQ$ 不与任何其他建筑物相交，则认为该建筑物是可见的。

请找出在坐标 $0$ 处的最大高度，使得在该高度无法看到所有建筑物。高度必须是非负的；如果在坐标 $0$ 处的高度 $0$ 就能看到所有建筑物，则输出 -1。

输入格式

输入从标准输入按以下格式给出：

$N$
$X_1$ $H_1$
$⋮$
$X_N$ $H_N$

输出格式

如果在坐标 $0$ 处高度 $0$ 就能看到所有建筑物，输出 -1。否则，输出在坐标 $0$ 处无法看到所有建筑物的最大高度。答案与真实值的绝对误差或相对误差在 $10^{-9}$ 以内的解答将被视为正确。

【样例解释 $1$】

从坐标 $0$ 处高度 $1.5$ 的位置看，无法看到建筑物 $3$。如果高度比 $1.5$ 稍高一点，就能看到包括建筑物 $3$ 在内的所有建筑物。因此，答案是 $1.5$。

【样例解释 $2$】

注意，输出 -1.000 或类似的格式将被视为错误答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

3
3 2
5 4
7 5

输出 #1

1.500000000000000000

输入输出样例 #2

输入 #2

2
1 1
2 100

输出 #2

-1

输入输出样例 #3

输入 #3

3
1 1
2 2
3 3

输出 #3

0.000000000000000000

输入输出样例 #4

输入 #4

4
10 10
17 5
20 100
27 270

输出 #4

17.142857142857142350

说明/提示

• $1\le N\le 2\times 10^5$
• $1\le X_1<\cdots <X_N\le 10^9$
• $1\le H_i\le 10^9$
• 所有输入值均为整数。

思路

这道题其实可以发现就是任意取两点，构造一个一次函数，求斜率最小的哪一个。这里先给一张图。

图中 $ans$ 的纵坐标就是答案。

可是这样时间复杂度是 $O(n^2)$ 会超时。于是我们考虑只用算相邻两点，我们再给个图证明一下。

其中有 $1$，$2$，$3$，三条直线。$1$ 与 $2$ 构成的和 $3$ 与 $2$ 为相邻的，而 $1$ 与 $3$ 为不相邻的。它们构成了一个三角形，而根据三角形的性质，$1$ 与 $3$ 这条斜边一定不是最优。

最后还有一种情况。就是如果算出来 $ans$ 的纵坐标为负数，则输出 $-1$。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int x[300000],y[300000],n;
long double ans=-1e100;
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>x[i]>>y[i];
	}
	for(int i=2;i<=n;i++){
		ans=max(ans,y[i]-(long double)(y[i]-y[i-1])/(x[i]-x[i-1])*x[i]);
	}
	if(ans>=0){
		cout<<fixed<<setprecision(12)<<ans;
	}
	else{
		cout<<-1;
	}
	return 0;
}