使用 Mermaid 绘制 UML 时序图：用算法方式剖析“过河卒”

“过河卒” 是一道经典的编程题目，背景设定通常为棋盘场景，有一个卒子要从棋盘的起始位置到达特定目标位置，且棋盘上存在一些障碍物限制卒子的行进路线。

首先，要明确棋盘的布局，确定起点、终点以及障碍物的坐标位置。例如，将棋盘抽象为二维数组，每个格子对应数组中的一个元素，用特定值表示起点、终点、障碍物与可通行路径。这一步就像是绘制地图，为卒子的行动规划好场地。
接着，分析卒子的移动规则。在中国象棋规则下，卒子只能向前、向左或向右移动（过河前），过河后还能向下移动。这意味着在代码实现中，需要根据卒子所处的位置（是否过河）来判断其下一步可行的移动方向，构建出卒子的移动逻辑树，清晰呈现每一步可能的走向。

一、方法选择

对于 “过河卒” 问题，递推和递归两种方法都可尝试。
递推方法是从初始状态开始，依据已知的前一步状态，逐步推导出后续状态，通过循环迭代的方式，一层一层地计算出到达每个格子的路径数量。它的优点在于效率相对较高，因为避免了大量重复的函数调用开销，只需按照既定顺序依次更新每个格子的状态值即可，代码执行流程较为直观。
递归方法则是将问题不断分解为相似的子问题，从目标状态回溯到初始状态。比如，要计算到达终点的路径数，先递归地计算到达终点前一步的各个位置的路径数，再汇总得出最终结果。递归方法的优势在于代码结构相对简洁，易于理解问题的本质，但缺点是存在大量重复计算，当棋盘规模较大时，可能会导致栈溢出等效率问题。综合来看，如果追求更高的执行效率，尤其是在处理大规模棋盘数据时，递推方法更为合适；若侧重于快速实现原型，理解问题求解逻辑，递归方法可以作为前期探索的手段。

二、优化算法

在初步选定方法后，以递推方法为例进行算法优化。
在递推过程中，利用空间换时间的策略，创建一个与棋盘大小相同的二维数组 dp，用于存储到达每个格子的路径数量。初始化起点位置的路径数为 1，然后按照卒子的移动规则进行循环遍历棋盘。对于可通行的格子，其路径数量等于上方、左方（未过河前）或上方、左方、下方（过河后）相邻可通行格子的路径数之和，即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]（未过河情况，假设 i 表示行，j 表示列），若考虑过河后的规则，再加上 dp[i + 1][j]。同时，遇到障碍物时，直接将对应格子的路径数置为 0。通过这样的动态规划思想，避免了重复计算每个格子的路径，大大提高了算法效率。

1， Mermaid 绘制的 “过河卒” 问题求解的 UML 时序图示例：