P1082 同余方程(NOIP 2012 提高组 第二天 第一题) 拓展欧里几得

题目及解析

求关于x的同余方程ax≡1(mod b)的最小正整数解。

ax≡1(mod b)等价于 ax + by = 1
ax≡1(mod b)——>ax mod b=1——>ax-b⌊ax/b⌋=1——>设y=-⌊ax/b⌋——>ax+by=1

拓展欧里几得

拓展欧里几得即求不定方程 ax + by = d { gcd (a,b) | d } 的一组整数解的算法

设 x’ , y’ 为 bx + ( a mod b ) y = d 的一组整数解
bx’ + ( a - ⌊a/b⌋b ) y’ =d
再将含 a 和含 b 的放在一起 ay’ + b ( x’ - ⌊a/b⌋y’ ) =d
代入 x = y’ , y = x’ - ⌊a/b⌋y’ 就能得到原方程的一组整数解
过程中递归求解即可

谢谢MW大佬讲课%%

代码

#include <cstdio>

using namespace std;

long long a,b,x,y,k;

void exgcd(long long a,long long b){
	if (b==0) {
		x=1;
		y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b);
	k=x;
	x=y;
	y=k-a/b*y;
}

int main(){
	scanf("%lld%lld",&a,&b);
	exgcd(a,b);
	printf("%lld",(x+b)%b);
}

呲啦，碳酸气体迫不及待冲出密闭空间的欢呼声。
——夏天的声音。