质数识别/列举算法

首先了解概念：质数，也被称为素数，是指除了1跟它本身没有其他因数的数。1既不是质数也不是合数，2是最小的质数。

问题：列举小于任意数Num的质数

可以把这样一个问题分解为两个功能模块，List_Prime(Num)和is_Prime(n)，其中is_Prime(n)嵌套在List_Prime(Num)中。

算法1：首先从2开始迭代累加到num，该部分是List_Prime(Num)。对于任意一个数n，需要判断它是不是质数，即is_Prime(n)。对2到n-1取余（取模），如果发现有余数为0的情况，则说明有因数存在，n不是质数。否则，n是质数。

我们发现，所有质数都是奇数，所以在从2迭代到num的过程中，每次累加2而不是1。

算法2： List_Prime(Num)进行改进，从2迭代到num的过程中每次增加2，这样每次只判断奇数是不是质数，is_Prime(n)与算法1思路相同。可以提高50%的效率。

我们也发现，任何一个合数都是由质因子组成的，比如10=2*5，12=2*2*3。所以在算法2的基础上，我们可以改进is_Prime(n)。

算法3：List_Prime(Num)与算法2相同。对于is_Prime(n)，我们不需要考察从2到n-1的所有的数，只需要考察之前得到的质数即可。比如对于7，我们只需要看2,3,5是不是7的因子，而不需要看2,3,4,5,6。可以在算法2的基础上提高约50%的效率。

对于任何一个数num，一定需要考察所有比num小的质数是不是其因子吗？比如对于7，需要考察7能不能被2、3、5整除么？其实不需要，因为任何一个合数都至少可以分解成两个数，而其中一个必然可以是质数。（任何一个合数都可以转化为若干质数相乘的形式）所以对于num，在所有小于它的质数中，我们只需要判断“前一半”（严格说是前一部分）是不是num的因子即可，因为另外的“后一半”要依靠前一半存在。

比如对于11，我们判断2、3都不是其因子，5和5以后就不需要了，因为若因子有5，一定存在另一个大于5的因子y使得5*y=11，但11比25都小，所以更不可能有5*y=11了。所以我们可以用质数的平方来作判断条件，如果比当前质因子平方大或相等就继续判断，如果小则返回true。比如对于num=11

2*2<num, 考察2是不是num的因子，不是，继续；

3*3<num, 考察3是不是num的因子，不是，继续；

5*5>num, 返回true，num是质数。因为不可能有5和5以后的质数作为num的因子了，若有则必有小于5的质数作为num的另一个因子，但之前判断它们都不是。

算法4：List_Prime(Num)与算法3相同。对于is_Prime(n)，我们不需要考察之前得到的所有质数即可，只考察平方小于等于n的质数是不是其因子。

Ruby的代码如下

$arr=[]

$arr[0]=2

def add_prime(n)

    3.step(n,2){|num|$arr<<numifis_prime?num}

end

 

def is_prime?(number)

   j=0

  while $arr[j]*$arr[j]<=number

      return falseifnumber%$arr[j]==0

      j+=1

  end

  return true

end

 

add_prime(50)

print $arr.join(","),"\n"