【NOI2010】能量采集 题解

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【NOI2010】能量采集 题解

谨纪念我的第一道手推出来的莫反题。

题目大意：已知 $n$，$m$，求 $\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(2\cdot \gcd (i,j)-1)$。

首先变形一手：

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m(2\cdot \gcd (i,j)-1)=2\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\gcd (i,j)-n\times m$$

然后我们只用求出中间那两个 $\sum$ 就好了。

∑ i = 1 n ∑ j = 1 m gcd ⁡ ( i , j ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m ∑ d = 1 n d [ gcd ⁡ ( i , j ) = d ] = ∑ d = 1 n d ∑ i = 1 ⌊ n d ⌋ ∑ j = 1 ⌊ m d ⌋ [ gcd ⁡ ( i , j ) = 1 ] = ∑ d = 1 n d ∑ i = 1 ⌊ n d ⌋ ∑ j = 1 ⌊ m d ⌋ ∑ x ∣ gcd ⁡ ( i , j ) μ ( x ) = ∑ d = 1 n d ∑ x = 1 ⌊ n d ⌋ μ ( x ) ⌊ n d x