最大子序列系列问题

  1. 问题描述

给定一个序列，求最大子序列和

这个问题可以用贪心算法解决，依次相加，加正数序列增大，加负数减小，如果此时序列小于0，则说明此前序列应舍去，重新从后面开始加，每次记录现在的值，判断是否最大，大于max则更新max

   对了还要特判全是负数的情况

    贪心代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int arr[1000000];
bool x=0;
int n,ans=0,mmax=-100000000;//一个非常小的数 
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		cin>>arr[i];
		if(arr[i]>0)
		x=1;//特判准备 
	}
	if(x==0)//全为负数特判，直接找最大值
	{
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			if(arr[i]>mmax)
			{
				mmax=arr[i];
			}
		 } 
		 cout<<mmax;
		 return 0;
	 } 
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		ans+=arr[i];//累加 
		if(ans<0)//舍去，重新累加 
		{
			ans=0;
		}
		if(ans>mmax)
		{
			mmax=ans;//更新最大值 
		}
	}
	cout<<mmax;
		return 0;
}

同时，这题也可以动态规划

设dp[i]为以结尾的最大子序列和，则dp【i】为max{arr[i],dp[i-1]+arr[i]}依次推出，则dp【i】中的最大值为最大子序列和

dp代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1000000];
int n,mmax;
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		cin>>dp[i];
	}
	mmax=dp[1];
	for(int i=2;i<=n;++i)
	{
		dp[i]=max(dp[i],dp[i-1]+dp[i]);
		if(dp[i]>mmax)
		{
			mmax=dp[i];
		}
	}
	cout<<mmax;
		return 0;
}

2.

但有时，题目会限制子序列的长度最大为m，这时，我们可以结合前缀和的知识来解决，

设s[i]为arr的前缀和，即arr1+arr2+....+arri 求出所有前缀和时间复杂度为n，则问题转化为求是s[i]-s[k]，（i-k<=m） 的最大值，可以考虑单调队列，使每个s[i]进入队列一次，找到最大的子序列

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int s[1000000];
deque<int> d;
int n,m,mmax;
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
	  scanf("%d",&s[i]);//输入序列 
	}
	for(int i=2;i<=n;++i)
	{
	  s[i]+=s[i-1];//求前缀和 
	}
	d.push_back(1); 
	for(int i=2;i<=n;++i)
	{
		if(d.front()<i-m&&!d.empty())//相差超过m无法做差 
		d.pop_front();
		if(s[i]-s[d.front()]>mmax&&!d.empty()) //更新max 
		{
			mmax=s[i]-s[d.front()];
		}
		while(s[i]<=s[d.back()])
		d.pop_back();
		d.push_back(i);
	}
	cout<<mmax;
		return 0;
}