骨牌覆盖（轮廓线DP）

最新推荐文章于 2025-07-09 01:23:59 发布

_anlin

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分类专栏： ACM

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这篇博客探讨了解决骨牌覆盖问题的一种思路，通过使用轮廓线动态规划（DP）方法。关键在于维护最后边所需的min(n, m)个状态，并考虑三种放置骨牌的情况：横放、竖放和不放。每种情况都有特定的转换条件，例如横放时当前格子不能是最左边，竖放时不能是最上边。通过这种方式，可以有效地解决这个问题。" 97163218,8614892,Spark资源与任务调度详解,"['Spark框架', '大数据处理', '任务管理', '资源管理', '计算模型']

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：有一个n*m的棋盘，要求用1*2的骨牌来覆盖满它，有多少种方案？（n<12，m<12）

思路：

　　由于n和m都比较小，可以用轮廓线，就是维护最后边所需要的几个状态，然后进行DP。这里需要维护的状态数就是min(n,m)。即大概是一行的大小。每次放的时候，只考虑（1）以当前格子为右方，进行横放；（2）以当前格子为下方进行竖放；（3）还有就是可以不放。

　　3种都是不一样的，所以前面的一种状态可能可以转为后面的几种状态，只要满足了条件。条件是，横放时，当前格子不能是最左边的；竖放时，当前格子不能是最上边的。而且要放的时候，除了当前格子，另一个格子也是需要为空才行的。

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>


#define LL long long int


LL dp[2][1 << 12];


int main()
{
    int n, m;
    while(scanf("%d %d", &n, &m) != EOF)
    {
        if(!(n | m))
        {
            break;
        }
        if((n & 1) && (m & 1))
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        if(m > n)
        {
            int t = m;
            m = n;
            n = t;
        }

        int h = 1 << (m - 1);
        dp[0][(1 << m) - 1] = 1;
        int cur = 0;

        for(int i = 0; i < n; ++i)
        {
            for(int j = 0; j < m; ++j)
            {
                cur ^= 1;
                memset(dp[cur], 0, sizeof(dp[cur]));
                for(int k = 0; k < (1 << m); ++k)
                {
                    if(k & h) //上面为 1的时候
                    {
                        dp[cur][(k ^ h) << 1] += dp[cur ^ 1][k];

                        if(j && !(k & 1)) //左边为0且不是第一列时，可以填横着的块
                        {
                            dp[cur][((k ^ h) << 1) | 3] += dp[cur ^ 1][k];
                        }
                    }
                    else
                        if(i) //上面为0且不在第一排，只能填竖着的块，不然上面的0永远都没机会填了
                        {
                            dp[cur][((k & (h - 1)) << 1) | 1] += dp[cur ^ 1][k];
                        }
                }
            }
        }
        printf("%lld\n", dp[cur][(1 << m) - 1]);
    }
    return 0;
}

压缩状态后的状态随轮廓线的变化如下:

}