洛谷P1020 [NOIP1999 提高组] 导弹拦截题解

yhlz64

已于 2024-12-01 14:06:51 修改

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分类专栏： c++ 文章标签：算法动态规划 c++ 贪心算法

于 2024-12-01 14:00:11 首次发布

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Subtask #0

第一问思路：

因为发射高度一次不如一次可得知，就是求单调不上升子序列（即后一项总是不大于前一项）

可以记 $d p [i]$ 表示「对于前 $i$ 个数，在选择第 $i$ 个数的情况下，得到的单调不升子序列的长度最长是多少」。于是可以分两种情况：

第 $i$ 个数是子序列的第一项。则 $d p [i]$ 为1
第 $i$ 个数不是子序列的第一项。选择的第 $i$ 个数之前选择了第 $j$ 个数。根据题意，第 $j$ 个数应当小于第 $i$ 个数的值。枚举这样的 $j$ ，可以得到状态转移方程：

dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)

考虑到求最大拦截导弹的数，所以在 $d p$ 数组中寻找最大值:

ans=max(ans,dp[i]);
//1≤i≤n

所以，第一问代码长这样：

for(int i=1;i<=n;i++)
	{
        for(int j=i;j>0;j--)if(a[i]<=a[j])dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
        ans=max(ans,dp[i]);
    }
    cout<<ans-1<<endl;

时间复杂度为 $\mathcal O(n^2)$

第二问思路：

其实就是求输入进来的数组的最长不上升子序列

这里的 $d p [i]$ 也可分为两种情况

第 $i$ 个数是子序列的第一项。则 $d p [i]$ 为1
第 $i$ 个数不是子序列的第一项。选择的第 $i$ 个数之前选择了第 j 个数。根据题意，第 $j$ 个数应当大于第 $i$ 个数的值。枚举这样的 $j$ ，可以得到状态转移方程：

dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);

所以，第二问代码长这样：

for(int i=1;i<=n;i++)dp[i]=1;
    for(int i=2;i<n;i++)
    {
        for(int j=i-1;j>=1;j--)
        {
            if(a[i]>a[j])dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
        }
        ans=max(ans,dp[i]);
    }
    cout<<ans;

时间复杂度也为 $\mathcal O(n^2)$

参考代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n=1,ans=0,dp[100000],a[100000];
int main()
{
    while(cin>>a[n])n++;
    for(int i=1;i<=n;i++)
	{
        for(int j=i;j>0;j--)if(a[i]<=a[j])dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
        ans=max(ans,dp[i]);
    }
    cout<<ans-1<<endl;
    ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)dp[i]=1;
    for(int i=2;i<n;i++)
    {
        for(int j=i-1;j>=1;j--)
        {
            if(a[i]>a[j])dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
        }
        ans=max(ans,dp[i]);
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

Subtask #1

洛谷上的数据被加强了，要拿到200分的话，就要用 $\mathcal O(n\log n)$ 做法通过。

第一问思路：

因为时间复杂度要在 $\mathcal O(n\log n)$ 内，所以考虑二分

第二问思路：

可以考虑贪心

从左到右依次枚举每个导弹。假设现在有若干个导弹拦截系统可以拦截它，那么我们肯定选择这些系统当中位置最低的那一个。如果不存在任何一个导弹拦截系统可以拦截它，那我们只能新加一个系统了。

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n=1,f[1000000],a[1000000],t;
int main()
{
   while(cin>>a[n])n++;
   t=0,memset(f,0,sizeof(f)),f[0]=2147483647;
   for(int i=1;i<n;i++)
   {
   	int l=0,r=t+1,m;
   	while(r-l>1)
   	{
   		if(f[m=l+(r-l)/2]>=a[i])l=m;
   		else r=m;
   	}
   	int x=l+1;
   	if(x>t)t=x;
   	f[x]=a[i];
   }
   cout<<t<<endl;
   t=0;
   memset(f,0,sizeof(f)),f[0]=0;
   for(int i=1;i<n;i++)
   {
       int l=0,r=t+1,m;
       while(r-l>1)
       {
       	if(f[m=l+(r-l)/2]<a[i])l=m;
       	else r=m;
   	}
   	int x=l+1;
   	if(x>t)t=x;
   	f[x]=a[i];
   }
   cout<<t;
   return 0;
}