HDU 5136 【2014广州现场赛 J】 Yue Fei's Battle

最新推荐文章于 2020-03-03 16:10:44 发布

yeziqing10

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分类专栏：组合数学文章标签： acm 组合数学 HDU-5136

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本文详细介绍了如何计算特定度数小于等于3的无标号树个数，包括奇数和偶数度数情况下的具体算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5136

题意

最长链为k的度<=3的无标号树个数

题解

若k为奇数，我们取最长链的中心，连出>=2个深度=[k/2]的二叉树。即
$(C A ([k / 2]) 2 + C A ([k / 2]) 1)) \times S ([k / 2] - 1) + (C A ([k / 2]) 3 + 2 C A ([k / 2]) 2 + C A ([k / 2]) 1)$ $(C^{A([k/2])}_2+C^{A([k/2])}_1))×S([k/2]−1)+(C^{A([k/2])}_3+2C^{A([k/2])}_2+C^{A([k/2])}_1)$
若k为偶数数，我们在最长链的中间假想一个虚拟点，连出2个深度=k/2的二叉树。即
$(C A (k / 2) 2 + C A (k / 2) 1)$ $(C^{A(k/2)}_2+C^{A(k/2)}_1)$
其中A(n)为深度为n的二叉树个数，S(n)为A(n)部分和。同理对深度为n的二叉树，根连出>=1个深度为n-1的二叉树。
$A (n) = A (n - 1) \times S (n - 2) + (C A (n - 1) 2 + C A (n - 1) 1)$ $A(n)=A(n−1)×S(n−2)+(C^{A(n−1)}_2+C^{A(n−1)}_1)$

code

//by wangtianyu
#include <cstdio>

typedef long long LL;

const int mod = 1000000007;

const int N = 101000;


struct modn {
    int n;
    modn() { }
    modn(LL x) { n = (x < 0 ? (((x%mod)+mod)%mod) : x%mod); }
    void print() const { printf("%d\n", n); }
};
modn operator +(const modn& A, const modn& B) { return A.n+B.n; }
modn operator -(const modn& A, const modn& B) { return A.n-B.n; }
modn operator *(const modn& A, const modn& B) { return (LL)A.n*B.n; }
modn power(const modn& a, LL n) {
    modn s = 1, t = a;
    for (; n; n >>= 1) {
        if (n&1) s = s * t;
        t = t * t;
    }
    return s;
}

const modn inv2 = power(2, mod-2);
const modn inv6 = power(6, mod-2);

modn g[N], s[N];

modn C3(modn x) {
    if (x.n < 3) return 0;
    return x * (x - 1) * (x - 2) * inv6;
}
modn C2(modn x) {
    if (x.n < 2) return 0;
    return x * (x - 1) * inv2;
}
int main() {
    int n;
    while(scanf("%d", &n) != EOF && n) {
        g[0] = g[1] = 1;
        s[0] = 1;
        s[1] = 2;
        for (int i = 2; i <= n; i ++)
            g[i] = C2(g[i - 1]) + g[i - 1] + g[i - 1] * s[i - 2], s[i] = s[i - 1] + g[i];
        modn ans;
        if (n & 1) {
            n = n / 2;
            ans = C3(g[n]) + g[n] * g[n] + (C2(g[n]) + g[n]) * s[n - 1];
        } else {
            n = n / 2;
            ans = C2(g[n]) + g[n];
        }
        ans.print();
    }
    return 0;
}